|
[[Файл:Vector AB from A to B.svg|right|thumb|300px|Вектор <math>\overrightarrow{AB}</math>]]
{{Другие значения|Вектор}}
'''Ве́ктор''' (от {{lang-lat|vector}}, «несущий») — в простейшем случае [[математический объект]], характеризующийся величиной и направлением.их Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой в [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]] (или на плоскости)<ref>{{книга |часть=Вектор |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=1 |год=1977 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</refп>.
Примеры: [[радиус-вектор]], [[скорость]], [[момент силы]]. Если в пространстве задана [[система координат]], то вектор однозначно задаётся набором своих координат. Поэтому в математике, информатике и других науках упорядоченный набор чисел часто тоже называют вектором. В более общем смысле вектор в математике рассматривается как элемент некоторого [[Векторное пространство|векторного (линейного) пространства]].
Является одним из основополагающих понятий [[Линейная алгебра|линейной алгебры]]. При использовании наиболее общего определения векторами оказываются практически все изучаемые в линейной алгебре объекты, в том числе [[Матрица (математика)|матрицы]], [[тензор]]ы, однако, при наличии в окружающем контексте этих объектов, под вектором понимаются соответственно [[Матрица (математика)#Вектор-строка и вектор-столбец|вектор-строка или вектор-столбец]], тензор первого ранга. Свойства операций над векторами изучаются в [[векторное исчисление|векторном исчислении]].
== Обозначения ==
Вектор, представленный набором <math>n</math> элементов (компонент) <math>a_1, a_2, \ldots, a_n</math> обозначают следующими способами:
: <math>\langle a_1, a_2, \ldots, a_n\, \rangle,\ \left ( a_1, a_2, \ldots, a_n\, \right ), \{ a_1, a_2, \ldots, a_n\, \} </math>.
Для того, чтобы подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр), используют черту сверху, стрелочку сверху, жирный или готический шрифт:
: <math>\bar a,\ \vec a, \mathbf a, \mathfrak A,\ \mathfrak a.</math>
Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:
: <math>\vec{a} + \vec{b}</math>.
Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например:
: <math>k \vec{b}</math>,
Умножение на [[Матрица (математика)|матрицу]] также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие [[Линейное отображение|линейного оператора]] на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака.
ыми операторами]] (пример линейного оператора — оператор [[поворот]]а).
Часто это определение расширяют, определяя [[норма (математика)|норму]] или [[скалярное произведение]] (возможно, и то и другое вместе), после чего оперируют уже с [[нормированное пространство|нормированными]] и [[евклидово пространство|евклидовыми]] пространствами, со скалярным произведением связывают понятие угла между векторами, а с нормой — понятие длины вектора.п▼== История ==
Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью [[Комплексное число|комплексных чисел]] ([[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]], 1831). Развитые операции с векторами опубликовал [[Гамильтон, Уильям Роуэн|Гамильтон]] как часть своего [[кватернион]]ного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин ''вектор'' ({{lang-lat|vector}}, ''несущий'') и описал некоторые операции [[Векторный анализ|векторного анализа]]. Этот формализм использовал [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелл]] в своих трудах по [[электромагнетизм]]у, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» [[Гиббс, Джозайя Уиллард|Гиббса]] (1880-е годы), а затем [[Хевисайд, Оливер|Хевисайд]] (1903) придал векторному анализу современный вид.
== В геометрии ==
{{main|Вектор (геометрия)}}
В геометрии под векторами понимают направленные отрезки. Эту интерпретацию часто используют в [[компьютерная графика|компьютерной графике]], строя [[карта освещения|карты освещения]], с помощью [[нормаль|нормалей]] к поверхностям. Так же с помощью векторов можно находить площади различных фигур, например [[треугольник]]ов и [[параллелограмм]]ов, а также объёмы тел: [[тетраэдр]]а и [[параллелепипед]]а. <br>
Иногда с вектором отождествляют направление.
Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу ([[Параллельный перенос|параллельному переносу]]), что, очевидно, проясняет происхождение его названия ({{lang-lat|vector}}, ''несущий''). Действительно, любой направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства, и обратно, параллельный перенос однозначно определяет собой единственный направленный отрезок (однозначно — если считать равными все направленные отрезка одинакового направления и длины — то есть рассматривать их как [[Вектор (геометрия)#Виды векторов|свободные векторы]].
Интерпретация вектора как переноса позволяет естественным и интуитивно очевидным способом ввести операцию [[Вектор (геометрия)#Сложение векторов|сложения векторов]] — как композиции (последовательного применения) двух (или нескольких) переносов; то же касается и операции умножения вектора на число.
== В линейной алгебре ==
{{main|Линейное пространство}}
В [[линейная алгебра|линейной алгебре]] вектором называется элемент линейного пространства, что соответствует общему определению, приведённому ниже. Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности [[изоморфизм|изоморфны]] между собой. <br>
Данным понятием вектора чаще всего пользуются при решении [[система линейных алгебраических уравнений|систем линейных алгебраических уравнений]], а также при работе с [[линейный оператор|линейными операторами]] (пример линейного оператора — оператор [[поворот]]а).
▲Часто это определение расширяют, определяя [[норма (математика)|норму]] или [[скалярное произведение]] (возможно, и то и другое вместе), после чего оперируют уже с [[нормированное пространство|нормированными]] и [[евклидово пространство|евклидовыми]] пространствами, со скалярным произведением связывают понятие угла между векторами, а с нормой — понятие длины вектора.
Многие математические объекты (например, [[Матрица (математика)|матрицы]], [[тензор]]ы и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем конечный (а иногда даже и чем счётный) упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам [[Векторное пространство|векторного пространства]], то есть являются с точки зрения алгебры векторами.
== В функциональном анализе ==
В [[функциональный анализ|функциональном анализе]] рассматриваются функциональные пространства — [[размерность векторного пространства|бесконечномерные]] линейные пространства. Их элементами могут являться функции. На основании такого представления функции выстроена теория [[Ряд Фурье|рядов Фурье]]. Аналогично с линейной алгеброй часто вводят норму, скалярное произведение или [[метрика (математика)|метрику]] на пространстве функций. На понятии функции как элемента [[Гильбертово пространство|гильбертова пространства]] основываются некоторые методы решения [[дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]], например [[метод конечных элементов]].
== Общее определение ==
Наиболее общее определение вектора даётся средствами [[Общая алгебра|общей алгебры]]. Пусть <math>\mathfrak F= \langle F;+,* \rangle </math> — некоторое [[Поле (алгебра)|поле]] с аддитивной операцией <math>+</math>, мультипликативной операцией <math>*</math>, [[Нейтральный элемент|аддитивной единицей]] <math>0</math> и [[Нейтральный элемент|мультипликативной единицей]] <math>1</math>.
Пусть <math>\mathfrak V= \langle V;+ \rangle </math> — некоторая [[абелева группа]] с [[Нейтральный элемент|единицей]] <math>\mathbf 0</math>. Если существует операция <math>F \times V \to V</math>, такая что для любых <math>a,b \in F</math> и для любых <math>\mathbf x ,\mathbf y \in V </math> выполняются соотношения:
# <math>(a+b)\mathbf x=a\mathbf x + b\mathbf x</math>,
# <math>a(\mathbf x + \mathbf y )=a\mathbf x + a\mathbf y</math>,
# <math>(a*b)\mathbf x = a(b\mathbf x )</math>,
# <math>1\mathbf x =\mathbf x</math>,
тогда <math>\mathfrak V</math> называется ''векторным пространством'' над полем <math>\mathfrak F</math> (или [[Векторное пространство|линейным пространством]]), элементы <math>V</math> называются ''векторами'', элементы <math>F</math> — ''[[скаляр]]ами'', а указанная операция <math>F \times V \to V</math> — ''умножением вектора на скаляр''.
Многие результаты линейной алгебры обобщены до [[унитарный модуль|унитарных модулей]] над некоммутативными телами и даже произвольных [[Модуль над кольцом|модулей над кольцами]], таким образом, в наиболее общем случае, в некоторых контекстах, вектором может быть назван как любой элемент модуля над кольцом.
== Физическая интерпретация ==
{{main|Векторная величина}}
Вектор, как структура, имеющая одновременно величину (модуль) и направление, рассматривается в физике как математическая модель [[Скорость|скорости]], [[Сила (физика)|силы]], и связанных с ними величин, кинематических или динамических. Математической моделью многих [[Поле (физика)|физических полей]] (например, [[электромагнитное поле|электромагнитного поля]] или поля скорости жидкости) являются [[векторное поле|векторные поля]].
Абстрактные многомерные и бесконечномерные (в духе [[#В функциональном анализе|функционального анализа]]) векторные пространства используются в лагранжевом и гамильтоновом формализме применительно к механическим и другим динамическим системам, а также в квантовой механике (см. [[Вектор состояния]]).
== Вектор как последовательность ==
{{main|Кортеж (математика)}}
''Вектор'' — ([[последовательность]], [[Кортеж (математика)|кортеж]]) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным [[аксиома]]м [[Линейное пространство|линейного пространства]]. Именно в таком виде вектор понимается в [[Программирование|программировании]], где, как правило, обозначается именем-[[идентификатор]]ом с квадратными скобками (например, ''object[]''). Перечень свойств моделирует принятое в [[Теория систем|теории систем]] определение [[Класс (математика)|класса]] и [[Состояние|состояния]] объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения элементов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки обычно принятого в алгебре, да и в математике вообще.
== См. также ==
{{Навигация}}
* [[Векторная величина]]
* [[Векторное поле]]
* [[Векторный анализ]]
== Литература ==
* {{книга|автор=Гусятников П.Б., Резниченко С.В.|заглавие=Векторная алгебра в примерах и задачах|место={{М}}|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1985|страниц=232|ссылка=http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah}}
* {{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}}
== Примечания ==
{{примечания}}
| 