Основная теорема алгебры: различия между версиями

'''Основна́я теоре́ма а́лгебры''' — утверждение о том, что [[поле (алгебра)|поле]] [[Комплексное число|комплексных чисел]] [[Алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнуто]], то есть всякий отличный от [[КонстантаМатематическая константа|константы]] [[многочлен]] (от одной переменной) с [[Комплексное число|комплексными]] коэффициентами имеет, по крайней мере, один [[Корень алгебраического уравнения|корень]] на поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с [[Вещественное число|вещественными]] коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.

Теорема впервые встречается у немецкого математика Петера Рота (''Peter Roth'' или ''Peter Rothe'', ?—1617). В своём трактате «''Arithmetica Philosophica''» (1608) он высказал предположение о том, что многочлен <math>n</math>-й степени <u>может</u> иметь не более <math>n</math> корней. Более смелую формулировку дал [[Альбер Жирар]] в труде «''Новое открытие в алгебре''» ([[1629 год в науке|1629]]): уравнение степени <math>n</math> <u>должно</u> иметь ровно <math>n</math> корней, действительных (включая [[отрицательные числа|отрицательные]]) или воображаемых (последний термин обозначал комплексные корни, пользу от которых Жирар особо оговорил). Однако Жирар сделал оговорку: эта теорема может быть неверна, если «уравнение неполное», то есть некоторые коэффициенты равны нулю. Взгляды Рота и Жирара опередили свой время и широкой известности не получили{{sfn |История математики, том II|1970|с=23—25}}.

[[Декарт, Рене|Декарт]] в труде «''[[Геометрия (Декарт)|Геометрия]]''» ([[1637 год в науке|1637]]) использовал следующую формулировку: «Всякое уравнение может иметь столько же различных корней, или же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений»; далее он тоже делает оговорку: «хотя всегда можно вообразить себе столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням»{{sfn |История математики, том II|1970|с=42}}.

можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами. [[Д’Аламбер, Жан Лерон|Д’Аламбер]] первым в [[1746 год в науке|1746 году]] опубликовал доказательство этой теоремы.; Онооно, однако, основывалось на лемме, чтодоказанной длятолько любойв точки,1851 не являющейся корнем многочленагоду, найдётсяпричём точкадоказанной с меньшим [[Комплексное число#Модуль и аргумент|модулем]] многочлена от этой точки, то есть <math>\forall x: f(x) \neq 0 \ \Rightarrow \exist y: |f(y)|<|f(x)|</math>использованием.Основной Это доказательство было бы строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшеготеоремы значенияалгебры. Во второй половине [[XVIII век]]а появляются доказательства [[Эйлер, Леонард|Эйлера]], [[Лаплас, Пьер Симон|Лапласа]], [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжа]] и других. ВоВсе всехэти доказательства также опирались на этихнедоказанные доказательствахпредположения предполагается— заранеенапример, Эйлер считал очевидным, что какие-товещественный «идеальные»многочлен корнинечётной многочленастепени непременно имеет вещественный существуюткорень, а затемЛаплас доказываетсяпредположил без доказательства, что, повсе крайнейкорни мере,многочлена одинлибо из них являетсявещественные, комплекснымлибо числомкомплексные<ref name=KY44>{{книга |автор=Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). |заглавие=Математика XIX века. Том I: Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей |место=М. |издательство=Наука |страницы=44—49 |год=1978 }}</ref>..

[[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] первымв 1799 году дал доказательство без этогоэтих предположенияпредположений; впоследствии он не раз возвращался к этой теме и дал ещё несколько доказательств, основанных на различных идеях, однако всегда привлекающих средства неалгебраического характера. Например, в аналитической версии доказательства Гаусса единственным используемым им, но недоказанным утверждением была [[теорема Больцано — Коши]] для многочлена. Она утверждает, что многочлен с вещественными коэффициентами, принимающий как положительное, так и отрицательное значение, имеет корень. Доказательство Гаусса, по существу, содержит построение [[поле разложения многочлена|поля разложения многочлена]]<ref name=KY44/>.