Основная теорема алгебры: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
LGB (обсуждение | вклад) дополнение |
LGB (обсуждение | вклад) стилевые правки |
||
Строка 1:
'''Основна́я теоре́ма а́лгебры''' — утверждение о том, что [[поле (алгебра)|поле]] [[Комплексное число|комплексных чисел]] [[Алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнуто]], то есть всякий отличный от [[
Не существует строго алгебраического доказательства теоремы — все имеющиеся привлекают неалгебраические концепции, вроде [[Непрерывность множества действительных чисел|полноты множества вещественных чисел]] или [[Топология|топологии]] комплексной плоскости. К тому же теорема не является «основной» в современной алгебре — она получила это название во времена, когда основным направлением алгебры был поиск решений [[Алгебраическое уравнение|алгебраических уравнений]] с вещественными и комплексными коэффициентами.
Строка 13:
== История ==
Теорема впервые встречается у немецкого математика Петера Рота (''Peter Roth'' или ''Peter Rothe'', ?—1617). В своём трактате «''Arithmetica Philosophica''» (1608) он высказал предположение о том, что многочлен <math>n</math>-й степени <u>может</u> иметь не более <math>n</math> корней. Более смелую формулировку дал [[Альбер Жирар]] в труде «''Новое открытие в алгебре''» ([[1629 год в науке|1629]]): уравнение степени <math>n</math> <u>должно</u> иметь ровно <math>n</math> корней, действительных (включая [[отрицательные числа|отрицательные]]) или воображаемых (последний термин обозначал комплексные корни, пользу от которых Жирар особо оговорил). Однако Жирар сделал оговорку: эта теорема может быть неверна, если «уравнение неполное», то есть некоторые коэффициенты равны нулю. Взгляды Рота и Жирара опередили свой время и широкой известности не получили{{sfn |История математики, том II|1970|с=23—25}}.
[[Декарт, Рене|Декарт]] в труде «''[[Геометрия (Декарт)|Геометрия]]''» ([[1637 год в науке|1637]]) использовал следующую формулировку: «Всякое уравнение может иметь столько же различных корней, или же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений»; далее он тоже делает оговорку: «хотя всегда можно вообразить себе столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням»{{sfn |История математики, том II|1970|с=42}}.
[[Маклорен, Колин|Маклорен]] и [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] уточнили формулировку теоремы, придав ей форму, эквивалентную современной: всякий многочлен с [[вещественное число|вещественными]] коэффициентами
можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами. [[Д’Аламбер, Жан Лерон|Д’Аламбер]] первым в [[1746 год в науке|1746 году]] опубликовал доказательство этой теоремы
[[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]]
Первое полное и строгое доказательство было представлено [[Арган, Жан Робер|Жаном Арганом]] в 1814 году<ref>{{MacTutor Biography|id=Argand}}</ref>.
|