|
== Доказательство ==
<math>(\alpha)</math> Пусть <math>\lambda = \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}\in (0; +\infty)</math>.
<math>(\alpha)</math> Пусть <math>\rho = \varlimsup\limits_{x\to\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}</math> и <math>|x-x_{0}| < \frac{1}{\rho}</math>. Тогда <math>\varlimsup\limits_{x\to\infty} (\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}|x-x_{0}|) < 1</math>, <math>\varlimsup\limits_{x\to\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}{|x-x_{0}|}^{\nu}} < 1</math> и можно найти такое число <math>q < 1</math>, что почти для всех <math>\nu</math> <math>\varlimsup \sqrt{[\nu]{|a_{\nu}|{|x-x_{0}|}^{\nu}}} < q</math>. Но из этого неравенства следует, что геометрическая прогрессия <math>\sum_{\nu = 0}^{\infty}</math> является сходящейся мажорантой ряда <math>\sum_{\nu = 0}^{\infty}|a_{\nu}{(x-x_{0})}^{\nu}|</math>, то есть что <math>|x-x_{0}| < R</math>. Если, наоборот, точка <math>x</math> удовлетворяет условию <math>|x-x_{0}| > \frac{1}{\rho}</math>, то <math>\varlimsup(\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}|x-x_{0}|)>1</math>, <math>\varlimsup(\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|{|x-x_{0}|}^{\nu})}>1</math>, и потому для бесконечного множества номеров <math>\nu</math> <math>\sqrt[\nu]{|a_{\nu}(x-x_{0}^{\nu}|} \geqslant 1</math>, <math>|a_{\nu}{(x-x_{0})}^{\nu}| \geqslant 1</math>. Следовательно, ряд <math>\sum_{\nu = 0}^{\infty}|a_{\nu}(x-x_{0})^{\nu}|</math> расходится, потому что его члены не стремятся к нулю.
Если точка <math>(z \beta)in \mathbb C</math> Еслитакова, что <math>|z-z_{0}| < \frac{1}{\lambda}</math>, то <!--- <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} (\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}\cdot|z-z_{0}|) =< 01</math>, то для каждого <math--->x \in R</math> последовательность <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty}\sqrt[\nu] {|a_{\nu}{(xz-x_z_{0})}^{\nu}|} < 1</math> сходится к нулю.и Тогдаможно еслинайти выбратьтакое число <math>q</math> между <math>0</math> и <math>1</math>, то длячто почти всехдля номероввсех <math>\nu</math> будет выполняться неравенство <math>\sqrt[\nu]{|a_{\nu}{(xz-x_z_{0})}^{\nu}|} < q\,</math>. Из этого неравенства следует, что геометрическая прогрессия <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}q^{\nu}</math>, откуда,является каксходящейся имажорантой вряда <math>(\alphasum_{\nu = 0}^{+\infty}|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|</math>, следуетто сходимостьесть ряда в точке<math>R=\frac{1}{\lambda}</math>.
Если, наоборот, точка <math>(z \gamma)in \mathbb C</math> Верхнегоудовлетворяет пределаусловию <math>|z-z_{0}| > \varlimsupfrac{1}{\lambda}</math>, то <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty}(\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}\cdot|z-z_{0}|)>1</math> не существует в том и только том случае<!---, если последовательность <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty}(\sqrt[\nu]{|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu})|}>1</math> неограничена.---> Если и для бесконечного множества номеров <math>x \neq x_{0}nu</math>, тобудет тогдавыполняться неограничена и последовательность<!--- <math>\sqrt[\nu] {|a_{\nu}{(xz-x_z_{0})}^{\nu}|} \geqslant 1</math>, а значит и---> последовательность <math>|a_{\nu}{(xz-x_z_{0})}^{\nu}| \geqslant 1</math>. ПоэтомуСледовательно, ряд <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}|a_{\nu}(xz-x_z_{0})^{\nu}|</math> долженв точке <math>z</math> расходится, поскольку его члены не стремятся к расходитьсянулю.
<math>(\beta)</math> Пусть <math>\lambda = \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|} = 0</math>. Тогда для каждого <math>z \in \mathbb C</math> последовательность <math>\sqrt[\nu] {|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|}</math> сходится к нулю. Поэтому, если выбрать число <math>q=q(z) \in (0; 1)</math>, то для почти всех номеров <math>\nu</math> будет выполняться неравенство <math>|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|<q^{\nu}</math>, откуда, как и в <math>(\alpha)</math>, следует сходимость ряда в точке <math>z</math>. Формально <math>R = \frac{1}{+0}= +\infty</math>.
<math>(\gamma)</math> Верхнего предела <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}</math> в <math>\mathbb R</math> не существует (т.е. формально <math>\lambda = \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}=+\infty \in \overline{\mathbb R}</math>) в том и только том случае, если последовательность <math>\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}</math> неограничена сверху. Если <math>z \neq z_{0}</math>, то неограничена и последовательность <math>\sqrt[\nu] {|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|}</math><!---, а значит и последовательность <math>|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|</math> --->. Поэтому ряд <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}</math> в точке <math>z \neq z_{0}</math> расходится. Следует отметить, что при <math>z = z_{0}</math> ряд <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}</math> сходится к <math>a_{0}</math>. Окончательно <math>R=0</math> (т.е. формально <math>R = \frac{1}{+\infty}= +0</math>, фактически <math>R = \varliminf\limits_{\nu\to+\infty} \frac{1}{\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|} }=0</math>).
== Примечания ==
|
