Теорема Штейнера — Лемуса: различия между версиями

Нет описания правки
[[Файл:Steiner lehmus.svg|thumb|right|300px|<math>|AE|=|BD|,\,\alpha=\beta,\,
\gamma=\delta </math> ]]
'''Теорема Штейнера — Лемуса''' теорема [[геометрия треугольника|геометрии треугольника]].
этоИзвестно как с виду простое утверждение которое не имеет простого классического доказательства,
хотя алгебраическое доказательство можно легко провести, используя формулу о длине биссектрисы <math>l_c=\frac{\sqrt{4abp(p-c)}}{a+b}</math>аналитически.
 
==Формулировка==
{{Теорема|Если в треугольнике равны 2 биссектрисы, то этот треугольник является равнобедренным.}}
 
это с виду простое утверждение не имеет простого классического доказательства,
хотя алгебраическое доказательство можно легко провести, используя формулу о длине биссектрисы <math>l_c=\frac{\sqrt{4abp(p-c)}}{a+b}</math>.
 
== История доказательства ==
Впервые доказательство было дано в работах немецких геометров [[Штейнер, Якоб|Штейнера]] и {{iw|Лемус, Дэниэл|Лемуса|en|C._L._Lehmus}}. С тех пор это утверждение носит их имя.
 
В 1963 году журнал [[American Mathematical Monthly]] объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. Было прислано много доказательств, среди которых обнаружились интересные ранее неизвестные. Одно из лучших, по мнению редакции, приведено в <ref>{{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}}</ref>. Оно строится [[Метод от противного|от противного]], далее рассматривая окружность, проходящую через 4 точки.
Было прислано много доказательств, среди которых обнаружились интересные ранее неизвестные.
Одно из лучших, по мнению редакции, приведено в <ref>{{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}}</ref>.
Оно строится [[Метод от противного|от противного]], далее рассматривая окружность, проходящую через 4 точки.
 
В советской литературе распространено доказательство, основанное на следующем [[Признаки равенства треугольников|признаке равенства треугольников]]: если сторона, противолежащий этой стороне угол и биссектриса этого угла одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.
 
Аналитическое доказательство следует из формулы на длину биссектрисы
:<math>l_c=\frac{\sqrt{4abp(p-c)}}{a+b}.</math>
 
== Вариации и обобщения ==