Александровская геометрия: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Tosha (обсуждение | вклад) |
Tosha (обсуждение | вклад) |
||
Строка 14:
===CAT[0]===
{{main|Пространство Адамара}}
Первое неравенство,
для призвольных 4 точек <math>x,y,p,q\in X</math> рассмотрим пару треугольников сравнения <math>[\tilde x\tilde p\tilde q]</math> и <math>[\tilde y\tilde p\tilde q]</math> тогда для произвольной точки <math>\tilde z\in [\tilde p\tilde q]</math> выполняется неравенство
:<math> |x-y|_X\le |\tilde x-\tilde z|_{\mathbb{E}^2}+|\tilde x-\tilde z|_{\mathbb{E}^2}.</math>
В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет <math>\mathrm{CAT}[0]</math>-неравенству.
В случае локального выполнения этого неравенства, говорят, что пространство имеет '''неположительную кривизну в смысле Александрова'''.
===CBB[0]===
Второе неравенство,
для произвольных 4 точек <math>p,x,y,z\in X</math> выполняется неравенство
:<math>\tilde\measuredangle(p\,^{x}_{y})+\tilde\measuredangle(p\,^{y}_{z})+\tilde\measuredangle(p\,^{z}_{x})\le 2\cdot\pi.</math>
В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет <math>\mathrm{CBB}[0]</math>-неравенству или говорят, что пространство имеет '''неотрицательную кривизну в смысле Александрова'''.
===CAT[k] и CBB[k]===
Строка 31 ⟶ 36 :
*<math>\mathbb{M}[k]</math> при <math>k>0</math> есть сфера радиуса <math>1/\sqrt{k}</math>,
*<math>\mathbb{M}[k]</math> при <math>k<0</math> есть [[плоскость Лобачевского]] кривизны <math>k</math>.
Тогда вышеприведённые определения превращаются в определения CAT[k] и CBB[k] пространств
В случае <math>k>0</math>, треугольник сравнения тройки <math>(xyz)</math> считается определённым если
:<math>|x-y|_X+|y-z|_X+|z-x|_X<2\cdot\pi/\sqrt{k}</math>.
| |||