Мера Лебега: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 12:
=== Свойства внешней меры ===
* (монотонность)<math>E_1\subseteq E_2 \Rightarrow m^*E_1\leqslant m^*E_2.</math>
* (счётная полуаддитивность) <math>E=\bigcup_{k=1}^\infty E_k \Rightarrow m^*E\leqslant\sum_{k=1}^\infty m^*E_k.</math>
* <math>\forall E,\;\varepsilon>0\;\exists G\supseteq E\colon m^*G\leqslant m^*E+\varepsilon</math>, где <math>G</math> — [[открытое множество]]. Действительно, достаточно в качестве <math>G</math> взять сумму интервалов, составляющих покрытие <math>E</math>, такую что <math>\sum_i\Delta_i\leqslant m^*E+\varepsilon</math>. Существование такого покрытия следует из определения точной нижней грани.
Строка 27:
{{details|Множество Витали}}
Пример неизмеримого по Лебегу множества построил [[Витали, Джузеппе|Дж. Витали]] в 1905 году. Рассмотрим следующее [[отношение эквивалентности]] <math>\sim</math> на отрезке <math>[0,\;1]</math>: <math>x\sim y</math> если разность <math>x-y</math> [[Рациональное число|рациональна]].
Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся [[аксиома выбора|аксиомой выбора]]).
Тогда полученное множество <math>E</math> представителей будет неизмеримым.
Строка 37:
<math>1 = \mu([0;1]) \le \mu(\bigcup_{n=1}^\infty E_n) = \sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n) \le \mu([-1;2]) = 3</math>.
Однако, если построенное множество <math>E</math> измеримо, это невозможно: все <math>\mu(E_n) = \mu(E)</math> в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит,
Воимя сохранения свойства счётной аддитивности меры на измеримых множествах придётся признать построенное множество <math>E</math> неизмеримым. (функция меры на <math>E</math> не распространяется)
Заметим, что построение этого, как и любого другого примера неизмеримого множества на отрезке, было бы невозможно без принятия [[аксиома выбора|аксиомы выбора]] (нельзя было бы допустить универсальную возможность выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).▼
▲Заметим, что построение этого, как и любого другого примера неизмеримого множества на отрезке, было бы невозможно без принятия [[аксиома выбора|аксиомы выбора]] (нельзя было бы допустить универсальную возможность выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).
== История ==
| |||