Устойчивость (динамические системы): различия между версиями

Переклад статті на українську
м (Откачены правки KIRIGAM (HG) (3.1.22))
(Переклад статті на українську)
В [[математика|математике]], решение [[дифференциальные уравнения|дифференциального уравнения]] (или, шире, траектория в [[Фазовое пространство|фазовом пространстве]] точки состояния [[динамическая система|динамической системы]]) называется '''устойчивым''', если поведение решений с условиями близкими к начальным «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунову]], асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в [[особая точка (дифференциальные уравнения)|особой точке]], поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной путём замены неизвестной функции.
 
== Постановка задачизавдання устойчивостистійкості [[Динамическая система|динамическихдинамічних систем]] ==
ПустьНехай <math>\Omega</math> — область пространствапростору <math>\mathbb{R}^n</math>, содержащаящо началомістить початок координат, <math>I = [\tau; \infty)</math>, гдеде <math>\tau \in \mathbb{R}^1</math>. РассмотримРозглянемо систему (1) видавиду:
 
{{формула|<math> \left\{
</math>|(1)}}
 
При любыхбудь-яких <math>(t_0, x_0) \in I \times \Omega</math> существуетіснує единственноеєдине решениерішення ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' системысистеми (1), удовлетворяющеезадовольняє начальнымпочатковим условиямумовам ''x(t<sub>0</sub>, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub>.'' БудемБудемо предполагатьприпускати, чтощо решениерішення ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' определеновизначено на интервалеінтервалі <math>J^+ = [t_0; \infty)</math>, причёмпричому <math>J^+ \subset I</math>.
 
== Стійкість за Ляпуновим ==
== Устойчивость по Ляпунову ==
Тривиальноетривіальне решениерішення ''x = 0'' системысистеми (1) называетсяназивається устойчивымстійким по [[Ляпунов, Александр Михайлович|ЛяпуновЛяпунову]]у, еслиякщо для любыхбудь-яких <math>t_0 \in I</math> иі <math>\varepsilon > 0</math> существуетіснує <math>\delta > 0</math>, зависящеезалежне толькотільки отвід ''&epsilon;'' иі ''t<sub>0</sub>'' иі не зависящеезалежить отвід ''t'', такоетаке, чтощо для всякогобудь-якого ''x<sub>0</sub>'', для которогокотрого <math>\|x_0\| < \delta</math>, решениерішення ''x'' системысистеми сз начальнымипочатковими условиямиумовами x(t<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub> продолжаетсятриває на всю полуосьпіввісь t > t<sub>0</sub> иі удовлетворяетзадовольняє неравенствунерівності <math>\|x(t)\| < \varepsilon</math>.
 
Символічно це записується так:
Символически это записывается так:
 
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \varepsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math>
 
== РавномернаяРівномірна устойчивостьстійкість по Ляпунову ==
ТривиальноеТривіальне решениерішення ''x = 0'' системысистеми (1) называетсяназивається равномернорівномірно устойчивымстійким по Ляпунову, еслиякщо &delta; изз предыдущегопопереднього определениявизначення зависитзалежить толькотільки отвід &epsilon;:
 
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall t_0 \in I)(\forall x_0 \in B_{\delta(\varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math>
 
== НеустойчивостьНестійкість по Ляпунову ==
ТривиальноеТривіальне решениерішення ''x = 0'' системысистеми (1) называетсяназивається неустойчивымнестійким по Ляпунову, еслиякщо:
 
<math>(\exists \varepsilon > 0)(\exists t_0 \in I)(\forall \delta > 0)(\exists x_0 \in B_\delta)(\exists t_* \ge t_0, t_* \in J^+) \Rightarrow (\|x(t_*, t_0, x_0)\| \ge \varepsilon)</math>
 
== Асимптотична стійкість ==
== Асимптотическая устойчивость ==
ТривиальноеТривіальне решениерішення ''x = 0'' системысистеми (1) называетсяназивається асимптотическиасимптотично устойчивымстійким, еслиякщо оновоно устойчивостійко по Ляпунову иі выполняетсявиконується условиеумова <math>\lim_{t \to \infty} \|x(t_*, t_0, x_0)\| = 0</math> для всякого ''x'' сз начальнымпочатковою условиемумовою ''x<sub>0</sub>'', лежащимлежачим в достаточнодосить малоймалій окрестностиоколиці нуля.
 
=== Еквіасимптотична стійкість ===
=== Эквиасимптотическая устойчивость ===
Тривіальне рішення ''x = 0'' системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно притягуєче.
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется эквиасимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее.
 
=== Рівномірна асимптотична стійкість ===
=== Равномерная асимптотическая устойчивость ===
Тривіальне рішення системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо воно стійке і еквіпритягуєче.
Тривиальное решение системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее.
 
=== Асимптотична стійкість в цілому ===
=== Асимптотическая устойчивость в целом ===
Тривіальне рішення ''x = 0'' системы (1) називається асимптотично стійким в цілому, якщо воно стійке і глобальнопрягуюче.
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее.
 
=== Рівномірна асимптотична стійкість в цілому ===
=== Равномерная асимптотическая устойчивость в целом ===
Тривіальне рішення ''x = 0'' системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким в цілому, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно глобальнопритягуюче.
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно- и глобальнопритягивающее.
 
== СмДив. такжетакож ==
* [[Теорема Лагранжа обпро устойчивостистійкість равновесиярівноваги]]
 
== ЛитератураЛітература ==
* {{книга
|автор = Беллман Р.
}}
 
[[Категория: Математическое моделирование]]
[[Категория: Динамические системы]]
[[Категория:Теория устойчивости]]
3

правки