50 672
правки
KIRIGAM (обсуждение | вклад) |
Bezik (обсуждение | вклад) (Отклонены последние 2 изменения (KIRIGAM): та що ви таке кажете!) |
||
{{Другие значения|
В [[математика|математике]], решение [[дифференциальные уравнения|дифференциального уравнения]] (или, шире, траектория в [[Фазовое пространство|фазовом пространстве]] точки состояния [[динамическая система|динамической системы]]) называется '''устойчивым''', если поведение решений с условиями близкими к начальным «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунову]], асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в [[особая точка (дифференциальные уравнения)|особой точке]], поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной путём замены неизвестной функции.
== Постановка
{{формула|<math> \left\{
</math>|(1)}}
При
== Устойчивость по Ляпунову ==
Символически это записывается так:
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \varepsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math>
==
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall t_0 \in I)(\forall x_0 \in B_{\delta(\varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math>
==
<math>(\exists \varepsilon > 0)(\exists t_0 \in I)(\forall \delta > 0)(\exists x_0 \in B_\delta)(\exists t_* \ge t_0, t_* \in J^+) \Rightarrow (\|x(t_*, t_0, x_0)\| \ge \varepsilon)</math>
== Асимптотическая устойчивость ==
=== Эквиасимптотическая устойчивость ===
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется эквиасимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее.
=== Равномерная асимптотическая устойчивость ===
Тривиальное решение системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее.
=== Асимптотическая устойчивость в целом ===
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее.
=== Равномерная асимптотическая устойчивость в целом ===
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно- и глобальнопритягивающее.
==
* [[Теорема Лагранжа
==
* {{книга
|автор = Беллман Р.
}}
[[Категория:
[[Категория:
[[Категория:Теория устойчивости]]
|