Устойчивость (динамические системы): различия между версиями

Отклонены последние 2 изменения (KIRIGAM): та що ви таке кажете!
(Отклонены последние 2 изменения (KIRIGAM): та що ви таке кажете!)
{{Другие значения|СтійкістьУстойчивость}}
В [[математика|математике]], решение [[дифференциальные уравнения|дифференциального уравнения]] (или, шире, траектория в [[Фазовое пространство|фазовом пространстве]] точки состояния [[динамическая система|динамической системы]]) называется '''устойчивым''', если поведение решений с условиями близкими к начальным «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунову]], асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в [[особая точка (дифференциальные уравнения)|особой точке]], поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной путём замены неизвестной функции.
В [[математика|математиці]], рішення [[дифференциальные уравнения|диференціального рівняння]] (Або, ширше, траєкторія у [[Фазовое пространство|фазовому просторі]] точки стану [[динамическая система|динамічної системи]]) називається '''стійким''', якщо поведінка рішень з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного рішення. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному,
отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість по [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунову]], асимптотичну стійкість і т.д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального рішення в [[особая точка (дифференциальные уравнения)|особливій точці]], оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.
 
== Постановка завданнязадачи стійкостіустойчивости [[Динамическая система|динамічнихдинамических систем]] ==
НехайПусть <math>\Omega</math> — область просторупространства <math>\mathbb{R}^n</math>, щосодержащая містить початокначало координат, <math>I = [\tau; \infty)</math>, дегде <math>\tau \in \mathbb{R}^1</math>. РозглянемоРассмотрим систему (1) видувида:
 
{{формула|<math> \left\{
</math>|(1)}}
 
При будь-якихлюбых <math>(t_0, x_0) \in I \times \Omega</math> існуєсуществует єдинеединственное рішеннярешение ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' системисистемы (1), задовольняєудовлетворяющее початковимначальным умовамусловиям ''x(t<sub>0</sub>, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub>.'' БудемоБудем припускатипредполагать, щочто рішеннярешение ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' визначеноопределено на інтерваліинтервале <math>J^+ = [t_0; \infty)</math>, причомупричём <math>J^+ \subset I</math>.
 
== Устойчивость по Ляпунову ==
== Стійкість за Ляпуновим ==
тривіальнеТривиальное рішеннярешение ''x = 0'' системисистемы (1) називаєтьсяназывается стійкимустойчивым по [[Ляпунов, Александр Михайлович|ЛяпуновуЛяпунов]]у, якщоесли для будь-якихлюбых <math>t_0 \in I</math> іи <math>\varepsilon > 0</math> існуєсуществует <math>\delta > 0</math>, залежнезависящее тількитолько відот ''&epsilon;'' іи ''t<sub>0</sub>'' іи не залежитьзависящее відот ''t'', такетакое, щочто для будь-якоговсякого ''x<sub>0</sub>'', для котрогокоторого <math>\|x_0\| < \delta</math>, рішеннярешение ''x'' системисистемы зс початковиминачальными умовамиусловиями x(t<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub> триваєпродолжается на всю піввісьполуось t > t<sub>0</sub> іи задовольняєудовлетворяет нерівностінеравенству <math>\|x(t)\| < \varepsilon</math>.
 
Символически это записывается так:
Символічно це записується так:
 
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \varepsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math>
 
== РівномірнаРавномерная стійкістьустойчивость по Ляпунову ==
ТривіальнеТривиальное рішеннярешение ''x = 0'' системисистемы (1) називаєтьсяназывается рівномірноравномерно стійкимустойчивым по Ляпунову, якщоесли &delta; зиз попередньогопредыдущего визначенняопределения залежитьзависит тількитолько відот &epsilon;:
 
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall t_0 \in I)(\forall x_0 \in B_{\delta(\varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math>
 
== НестійкістьНеустойчивость по Ляпунову ==
ТривіальнеТривиальное рішеннярешение ''x = 0'' системисистемы (1) називаєтьсяназывается нестійкимнеустойчивым по Ляпунову, якщоесли:
 
<math>(\exists \varepsilon > 0)(\exists t_0 \in I)(\forall \delta > 0)(\exists x_0 \in B_\delta)(\exists t_* \ge t_0, t_* \in J^+) \Rightarrow (\|x(t_*, t_0, x_0)\| \ge \varepsilon)</math>
 
== Асимптотическая устойчивость ==
== Асимптотична стійкість ==
ТривіальнеТривиальное рішеннярешение ''x = 0'' системисистемы (1) називаєтьсяназывается асимптотичноасимптотически стійкимустойчивым, якщоесли вонооно стійкоустойчиво по Ляпунову іи виконуєтьсявыполняется умоваусловие <math>\lim_{t \to \infty} \|x(t_*, t_0, x_0)\| = 0</math> для всякого ''x'' зс початковоюначальным умовоюусловием ''x<sub>0</sub>'', лежачимлежащим в доситьдостаточно маліймалой околиціокрестности нуля.
 
=== Эквиасимптотическая устойчивость ===
=== Еквіасимптотична стійкість ===
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется эквиасимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее.
Тривіальне рішення ''x = 0'' системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно притягуєче.
 
=== Равномерная асимптотическая устойчивость ===
=== Рівномірна асимптотична стійкість ===
Тривиальное решение системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее.
Тривіальне рішення системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо воно стійке і еквіпритягуєче.
 
=== Асимптотическая устойчивость в целом ===
=== Асимптотична стійкість в цілому ===
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее.
Тривіальне рішення ''x = 0'' системы (1) називається асимптотично стійким в цілому, якщо воно стійке і глобальнопрягуюче.
 
=== Равномерная асимптотическая устойчивость в целом ===
=== Рівномірна асимптотична стійкість в цілому ===
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно- и глобальнопритягивающее.
Тривіальне рішення ''x = 0'' системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким в цілому, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно глобальнопритягуюче.
 
== ДивСм. такожтакже ==
* [[Теорема Лагранжа прооб стійкістьустойчивости рівновагиравновесия]]
 
== ЛітератураЛитература ==
* {{книга
|автор = Беллман Р.
}}
 
[[Категория: Математическое моделирование]]
[[Категория: Динамические системы]]
[[Категория:Теория устойчивости]]