Формула Герона: различия между версиями

53 байта добавлено ,  4 года назад
м
оформление
(первоисточник и реферат 8-классника не являются АИ)
м (оформление)
== Вариации ==
* Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:
::<math>S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}</math>
::<math>S = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}</math>
::<math>S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.</math>
::<math>S = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}.</math>
 
* Формулу Герона можно записать с помощью [[определитель|определителя]] в виде<ref> Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html Heron's Formula.] From MathWorld--A Wolfram Web Resource. </ref>:
Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника.
* Первая формула выражает площадь через медианы, опущенные на стороны ''a'', ''b'' и ''c'', обозначенные соответственно через ''m<sub>a</sub>'', ''m<sub>b</sub>'' и ''m<sub>c</sub>'', если их полусумма есть σ = {{nowrap|(''m<sub>a</sub>'' + ''m<sub>b</sub>'' + ''m<sub>c</sub>'')/2}}. Тогда мы имеем <ref>Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," ''Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.</ref>
*:<math>S = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}.</math>
* Обозначим высоты, проведенные к сторонам ''a'', ''b'' и ''c'' треугольника соответственно через ''h<sub>a</sub>'', ''h<sub>b</sub>'' и ''h<sub>c</sub>'', а полусумму их обратных величин обозначим через <math>H = (h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1})/2</math>. Тогда имеем <ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," ''Mathematical Gazette'' 89, November 2005, 494.</ref>
::<math> S^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})} </math>
:или в развернутом виде
::<math>S=\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}})(\frac{1}{h_{c}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{a}})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{c}}-\frac{1}{h_{b}})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{c}})}}</math>
* Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через {{nowrap|''s'' {{=}} [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2}}, тогда имеем <ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 108–109.</ref>
::<math>S = D^{2} \sqrt{s(s-\sin \alpha)(s-\sin \beta)(s-\sin \gamma)}.</math>
Здесь через ''D'' обозначен диаметр описанной окружности треугольника: <math>D=\tfrac{a}{\sin \alpha} = \tfrac{b}{\sin \beta} = \tfrac{c}{\sin \gamma}.</math>
 
*: <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},</math>
: где <math>p=\frac{a+b+c+d}2</math> — '''полупериметр''' четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Например, при ''d''=0)
* Та же '''[[Формула Брахмагупты]]''' через определитель{{sfn|Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические нау-кинауки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39}}:
*: <math>S= \frac{1}{4} \sqrt{- \begin{vmatrix}
a & b & c & -d \\
b & a & -d & c \\
</math>
* Для [[тетраэдр]]ов верна [[формула Герона — Тарталья]], которая обобщена также на случай других многогранников (см. [[изгибаемые многогранники]]): если у [[тетраэдр]]а длины рёбер равны <math>l_1, l_2, l_3, l_4, l_5, l_6</math>, то для его объёма <math>V</math> верно выражение
*: <math>144 V^2 = l_1^2 l_5^2 (l_2^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_6^2 - l_1^2 - l_5^2) </math><math>+ l_2^2 l_6^2(l_1^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_5^2 - l_2^2 - l_6^2) </math><math>+ l_3^2 l_4^2 (l_1^2 + l_2^2 + l_5^2 + l_6^2 - l_3^2 - l_4^2) </math><math>- l_1^2 l_2^2 l_4^2 - l_2^2 l_3^2 l_5^2 - l_1^2 l_3^2 l_6^2 - l_4^2 l_5^2 l_6^2</math>.
* Предыдущая формула может быть выписана для тетраэдра в явном виде: Если {{math|''U''}}, {{math|''V''}}, {{math|''W''}}, {{math|''u''}}, {{math|''v''}}, {{math|''w''}} являются длинами ребер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и , например, ребро {{math|''u''}} противоположно ребру {{math|''U''}} и т.д.), тогда справедливы формулы <ref>W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?", [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/VtetLang.pdf], pp. 16-17.</ref>
* Предыдущая формула может быть выписана для тетраэдра в явном виде:
*:<math>
Если {{math|''U''}}, {{math|''V''}}, {{math|''W''}}, {{math|''u''}}, {{math|''v''}}, {{math|''w''}} являются длинами ребер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и , например, ребро {{math|''u''}} противоположно ребру {{math|''U''}} и т.д.), тогда справедливы формулы <ref>W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?", [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/VtetLang.pdf], pp. 16-17.</ref>
:<math>
\text{V} = \frac{\sqrt {\,( - a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}{192\,u\,v\,w}</math>
: где
 
:: <math>
где
 
: <math>
\begin{align} a & = \sqrt {xYZ} \\ b & = \sqrt {yZX} \\ c & = \sqrt {zXY} \\ d & = \sqrt {xyz} \\ X & = (w - U + v)\,(U + v + w) \\ x & = (U - v + w)\,(v - w + U) \\ Y & = (u - V + w)\,(V + w + u) \\ y & = (V - w + u)\,(w - u + V) \\ Z & = (v - W + u)\,(W + u + v) \\ z & = (W - u + v)\,(u - v + W). \end{align}
</math>