Линейная независимость: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
MPI3 (обсуждение | вклад) отмена правки 74180690 участника 46.0.188.2 (обс) так хитрозапрятанная ссылка не нужна |
м пунктуация |
||
Строка 1:
[[Файл:Vec-indep.png|thumb|right|Линейно независимые векторы в '''R'''<sup>3</sup>
[[Файл:Vec-dep.png|thumb|right|Линейно зависимые векторы на плоскости в '''R'''<sup>3</sup>
В [[линейная алгебра|линейной алгебре]] '''линейная зависимость''' — это свойство, которое может иметь [[подмножество]] [[Векторное пространство|линейного пространства]]. При линейной зависимости существует нетривиальная [[линейная комбинация]] элементов этого множества, равная [[Нейтральный элемент|нулевому элементу]]. При отсутствии такой комбинации, то есть, когда коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, [[множество]] называется '''линейно независимым'''.
Строка 6:
В <math>\mathbb{R}^3</math> векторы <math>(1,0,0)</math>, <math>(0,1,0)</math> и <math>(0,0,1)</math> линейно независимы, так как уравнение
: <math>a_1\cdot(1,0,0) + a_2\cdot(0,1,0) + a_3\cdot(0,0,1) = (0,0,0) \quad a_i \in \mathbb{R}</math>
имеет только одно — тривиальное — решение.
Векторы <math>(1,0,0)</math> и <math>(5,0,0)</math> являются линейно зависимыми, так как
: <math>(1,0,0) \cdot 5 = (5,0,0),</math>
а, значит,
: <math>-5 \cdot (1,0,0) + 1 \cdot (5,0,0) = (0,0,0).</math>
== Определение ==
Строка 18 ⟶ 19 :
Конечное множество <math>M' = \{v_1, v_2, ..., v_n\}</math> называется линейно независимым, если единственная [[линейная комбинация]], равная нулю, тривиальна, то есть состоит из факторов, равных нулю:
:<math>a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n = 0 \quad \Rightarrow \quad a_1 = a_2 = ... = a_n = 0.</math>
Если существует такая линейная комбинация с минимум одним <math>a_i \neq 0</math>, <math>M'</math> называется линейно зависимым. Обратите внимание, что в первом равенстве подразумевается <math>0 \in V</math>, а во втором <math>0 \in K</math>.
== Свойства ==
* <math>0 \in M \Rightarrow M</math> линейно зависимо.
* <math>M</math> линейно независимо <math>\Rightarrow</math> <math>M'</math> линейно независимо для всех <math>M' \subseteq M</math>.
* <math>M</math> линейно зависимо <math>\Rightarrow</math> <math>M'</math> линейно зависимо для всех <math>M' \supseteq M</math>.
== Значение ==
| |||