Метод Феррари: различия между версиями

4381 байт добавлено ,  5 лет назад
м
откат правок 78.60.85.60 (обс.) к версии 176.114.190.255
м (откат правок 78.60.85.60 (обс.) к версии 176.114.190.255)
Пусть уравнение 4-й степени имеет вид
{{Формула|<math>x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0</math>.|1}}
 
ДАнный метод не имеет сторго доказательства и не может быть приведён в качестве решения
 
Если <math>y_1</math> — произвольный корень [[Кубическое уравнение|кубического уравнения]]
{{Формула|<math>y^3-b y^2+(ac-4d)y-a^2 d+4 b d-c^2=0</math>|2}}
([[Резольвента алгебраического уравнения|резольвенты]] основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений
: <math>x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}y_1-c\right)x+\frac{y^2_1}{4}-d},</math>
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что [[дискриминант]]ы исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.
 
Представим уравнение четвёртой степени в виде:
: <math> A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E = 0, </math>
 
Его решение может быть найдено из следующих выражений:
: <math> \alpha = - {3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A}, </math>
: <math> \beta = {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A}, </math>
: <math> \gamma = -{3 B^4 \over 256 A^4} + {B^2 C \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A}, </math>
:: если <math>\beta=0</math>, тогда, решив <math>u^4+\alpha u^2 + \gamma = 0</math> и, сделав подстановку <math>x=u-{B\over 4A}</math>, найдём корни:
::: <math>x=-{B\over 4A}\pm_s\sqrt{-\alpha\pm_t\sqrt{\alpha^2-4\gamma}\over 2},\qquad\beta=0</math>.
: <math> P = - {\alpha^2 \over 12} - \gamma, </math>
: <math> Q = - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8}, </math>
: <math> R = -{Q\over 2} \pm \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}}</math>, (любой знак квадратного корня подойдёт)
: <math> U = \sqrt[3]{R}</math>, (три комплексных корня, один из которых подойдёт)
: <math> y = - {5 \over 6} \alpha +U + \begin{cases}U=0 &\to -\sqrt[3]{Q}\\U\ne 0 &\to {-P\over 3U}\end{cases}, </math>
: <math>W=\sqrt{ \alpha + 2 y}</math>
: <math> x = - {B \over 4 A} + { \pm_s W \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2 y \pm_s {2\beta\over W} \right) }\over 2 }.</math>
:: Два ±<sub>s</sub> — один и тот же знак при нахождении конкретного x, при этом ±<sub>t</sub> будет другим или тем же. Все корни x можно найти при всех четырёх комбинациях знаков ±<sub>s</sub> и ±<sub>t</sub>: «+,+»; «+,−»; «−,+» и «−,−». Двойные корни появятся два раза, тройные корни — три раза и корни четвёртого порядка — четыре раза. Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней ''U'' выбран.
 
== Вывод ==
Пусть имеется уравнение вида:
: <math>\ x^4+ax^2+bx+c =0 </math>
Обозначим корни уравнения как <math>x_1, x_2, x_3, x_4 </math>.
В канонической форме будет выполняться соотношение
: <math>\ x_1+ x_2+ x_3+ x_4=0:</math>
Учитывая мнимость по меньшей мере двух корней можно представить корни как:
 
: <math>\ x_1=W+iK</math>
: <math>\ x_2=W-iK </math>
: <math>\ x_3=-W+iV</math>
: <math>\ x_4=-W-iV</math>
 
Причём W,V -действительные числа.
Выразим a через корни уравнения
: <math>\ a= x_1x_2+ x_1x_3+ x_1x_4+ x_2x_3+ x_2x_4+ x_3x_4= x_1x_2+(x_1+ x_2)(x_3+x_4)+ x_3x_4=</math>
: <math>\ =(W^2+K^2)+ (W^2+V^2)-4W^2= V^2+K^2-2W^2</math>
Выразим К через остальные коэффициенты:
: <math>\ K^2=a+2W^2- V^2</math>
: <math>\ c= x_1x_2x_3x_4 =W^4+( V^2+K^2)W^2+K^2V^2= W^4+2W^4+aV^2+2W^2V^2- V^4+aW^2</math>
или
: <math>\ V^4-(a+ 2W^2) V^2 +c-3W^4 - aW^2=0</math>
Итого
: <math>\ V^2=1/2(( a+ 2W^2)\pm \sqrt{a^2-4c+ 8aW^2+16W^4})</math>
: <math>\ b= x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4+ x_1x_3x_4+ x_2x_3x_4 =(W^2+K^2)\cdot(-2W)+ (W^2+V^2)\cdot(2W)=2W(V^2-K^2)=</math>
: <math>\ =2W(2V^2- a-2W^2 )=2W\cdot\sqrt{a^2-4c+ 8aW^2+16W^4}</math>
 
Или <math>\ b^2=2W^2\cdot( a^2-4c+ 8aW^2+16 W^4)</math>
 
Отсюда <math>\ 32 W^6 +16aW^4+2(a^2-4c) W^2-b^2=0</math>
 
Заменяя <math>\ y=W^2</math> получаем резольвенту, решив которую, находим W
 
== История ==
С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика [[Кардано, Джероламо|Джероламо Кардано]], который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен [[Формула Кардано|алгоритм решения кубических уравнений]]; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения [[Уравнение четвёртой степени|уравнений четвёртой степени]]. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».