Матрица поворота: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м откат правок 195.19.47.96 (обс.) к версии Д.Ильин |
Нет описания правки |
||
Строка 185:
2 x z - 2 y w & 2 y z + 2 x w & 1 - 2 x^2 - 2 y^2
\end{bmatrix} . </math>
== Матрица поворота векторa по направлению координатной оси ==
Поворот n-мерного вектора X по направлению одной из координатных осей (например по направлению оси x<sub>1</sub> ) можно получить посредством n-1 последовательных поворотов в координатных плоскостей (x<sub>n-k</sub>, x<sub>n-k+1</sub>), k=1,…,n-1. Эти повороты выполняются умножением вектора с [[Ротация на Гивънс|матрицами Гивенса]] <math>G(n-k,n-k+1,\theta_{n-k})</math>, в которых коеффициенты S=sin(θ<sub>n-k</sub>) и C=cos(θ<sub>n-k</sub>) вычисляются по формуле:
<math>\begin{cases}
sin(\theta_{n-k})=-\frac{x_{n-k+1}}{\sqrt{x_{n-k}^2+x_{n-k+1}^2}}, cos(\theta_{n-k})=\frac{x_{n-k}}{\sqrt{x_{n-k}^2+x_{n-k+1}^2}},\quad x_{n-k}^2+x_{n-k+1}^2>0\\
sin(\theta_{n-k})=0, cos(\theta_{n-k})=1, \quad x_{n-k}^2+x_{n-k+1}^2=0\
\end{cases}
</math>
После каждого поворота получается вектор, которой является ортогоналным координатной оси x<sub>n-k+1</sub> в текущей координатной плоскости (x<sub>n-k</sub>, x<sub>n-k+1</sub>). Таким образом после n-1 поворотов получается вектор, которой является ортогоналным всем координатным осям с изключением оси x<sub>1</sub>. Требуемая матрица поворота M<sub>x</sub> получается как произведением [[Поворот Гивенса|матриц на Гивенса]] <math>G(n-k,n-k+1,\theta_{n-k})</math>, k=1,…,n-1 :
<math>M_x =\prod_{k=1}^{n-1} G(n-k,n-k+1,\theta_{n-k})</math>
== Свойства матрицы поворота ==
| |||