Борелевская сигма-алгебра: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Pafnutiy (обсуждение | вклад) |
Mikisavex (обсуждение | вклад) м пунктуация, оформление |
||
Строка 1:
'''
Если не оговорено иное, в качестве топологического пространства выступает [[вещественное число|вещественная прямая]].
Строка 11:
*'''Борелева (борелевская) функция''' — [[отображение]] одного [[топологическое пространство|топологического пространства]] в другое (обычно оба суть пространства [[вещественное число|вещественных чисел]]), для которого прообраз любого борелевского множества есть борелевское множество.
*'''Мера Бореля''' — мера определённая на всех открытых (а значит, и на всех борелевских) множествах топологического пространства.
== Свойства ==
Строка 20:
Рассмотрим [[функция (математика)|функцию]] <math>f(x) = \tfrac{1}{2}(x+c(x))</math> на отрезке <math>[0,1]</math>, где <math>c(x)</math> — [[канторова лестница]].
Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие — измерима.
Мера образа [[канторово множество|канторова множества]] равна <math>\tfrac{1}{2}</math>, а значит, мера образа его дополнения
Поскольку мера образа [[канторово множество|канторова множества]] ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество <math>A</math>.
Тогда его прообраз <math>f^{-1}(A)</math> будет измеримым (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не будет борелевским (поскольку иначе <math>A</math> было бы измеримо как прообраз борелевского множества при измеримом отображении).
| |||