Борелевская сигма-алгебра: различия между версиями

 

*'''Борелева (борелевская) функция''' — [[отображение]] одного [[топологическое пространство|топологического пространства]] в другое (обычно оба есть пространства [[вещественное число|вещественных чисел]]), для которого прообраз любого [[борелевская сигма-алгебра|борелевского множества]] есть борелевское множество.

 

==Свойства==

*Всякое борелевское множество на отрезке является [[измеримое множество|измеримым]] относительно [[мера Лебега|меры Лебега]], но обратное не верно.

**'''Пример:''' Рассмотрим [[функция (математика)|функцию]] <math>f(x) = \frac{1}{2}(x+c(x))</math> на отрезке [0,1], где ''c(x)'' — [[канторова лестница|функция Кантора]]. Мера образа канторова множества равна <math>\frac{1}{2}</math>, а значит, мера образа его дополнения также равна <math>\frac{1}{2}</math>. Функция ''f(x)'' монотонна, значит, она измерима и существует обратная к ней функция. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество ''A''. Тогда образ ''A'' при отображении ''f^-1'' будет измеримым (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не будет борелевским (поскольку иначе ''A'' было бы измеримо как прообраз борелевского множества при измеримом отображении).