Борелевская сигма-алгебра: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Tosha (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
|||
Строка 13:
==Свойства==
*Построение неборелевских множеств
*Всякое борелевское множество на отрезке является [[измеримое множество|измеримым]] относительно [[мера Лебега|меры Лебега]], но обратное не верно.
**'''Пример:''' Рассмотрим [[функция (математика)|функцию]] <math>f(x) = \frac{1}{2}(x+c(x))</math> на отрезке [0,1], где ''c(x)'' — [[канторова лестница|функция Кантора]]. Мера образа канторова множества равна <math>\frac{1}{2}</math>, а значит, мера образа его дополнения также равна <math>\frac{1}{2}</math>. Функция ''f(x)'' монотонна, значит, она измерима и существует обратная к ней функция. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество ''A''. Тогда образ ''A'' при отображении ''f<sup>-1</sup>'' будет измеримым (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не будет борелевским (поскольку иначе ''A'' было бы измеримо как прообраз борелевского множества при измеримом отображении).
|