Теорема Римана об условно сходящихся рядах: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
РобоСтася (обсуждение | вклад) + {{сирота}} с помощью AWB |
Bau (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 1:
{{К улучшению|24 апреля 2008}}
'''Теорема Римана об условно сходящихся рядах''' помогает при вычислении суммы бесконечного ряда.▼
▲'''Теорема Римана об''' [[Условная сходимость|'''условно сходящихся рядах''']] помогает при вычислении суммы бесконечного ряда.
Пусть ряд сходится условно, тогда для любого числа '''S'''<math>\in\mathbf{R}</math> можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна '''S'''.▼
== Формулировка ==
▲Пусть ряд <math>\mathbf{A}</math> сходится условно, тогда для любого числа '''S'''<math>\in\mathbf{R}</math> можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна '''S'''.
== Доказательство ==
Составим ряд из положительных элементов ряда <math>\mathbf{A}</math> и обозначим его <math>\mathbf{P}</math>, а элементы ряда <math>\mathbf{P}</math> обозначим <math>\mathbf{P_i} (i=1,...,\infty)</math>. Соответственно ряд из отрицательных элементов <math>\mathbf{A}</math> обозначим <math>\mathbf{Q}</math> Следовательно ряд <math>\mathbf{A}</math> можно представить как:
<math>\mathbf{A}=\mathbf{P}-\mathbf{Q}</math>.
Исходя из [[Условная сходимость|свойств условно сходящихся рядов]] <math>\mathbf{P}</math> и <math>\mathbf{Q}</math> - расходятся, а исходя из [[Остаток ряда|свойств остатка ряда]] все остатки <math>\mathbf{P}</math> и <math>\mathbf{Q}</math> - расходятся <math>\Rightarrow</math> в каждом из этих рядов начиная с любого места можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число.
Пользуясь этим произведем перестановку членов ряда <math>\mathbf{A}</math>:
Сначала возьмем столько положительных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы их сумма превзошла '''S''':
<math>\mathbf{p_1}+\mathbf{p_2}+...+\mathbf{p_k}></math>'''S'''
За ними запишем столько отрицательные члены ряда (не меняя их порядок), чтобы общая сумма была меньше '''S''':
<math>\mathbf{p_1}+\mathbf{p_2}+...+\mathbf{p_k}-\mathbf{q_1}-\mathbf{q_2}-...-\mathbf{q_m}<</math>'''S'''
Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда <math>\mathbf{A}</math> встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены <math>\mathbf{p}</math> и <math>\mathbf{q}</math>, набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и '''S''' по модулю не превзойдет последнего написаного члена. Псокольку из свойств условно сходящихся рядов:
<math>\lim_{k\to\infty} \mathbf{p_k}=0</math> и <math>\lim_{m\to\infty} \mathbf{q_m}=0</math>, то новый ряд сходится к '''S'''. Что и требовалось доказать.
{{math-stub}}
Строка 12 ⟶ 24 :
[[fr:Théorème de réarrangement de Riemann]]
[[pl:Twierdzenie Riemanna]]
| |||