Целое число: различия между версиями

 

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства целых чисел, в том числе коммутативность умножения, упорядоченность, правила [[Делимость|деления нацело]] и [[Деление с остатком|деления с остатком]]{{sfn|Числовые системы|1975|с=96—98}}. Покажем, например, как вводится [[Отношение порядка|порядок]] целых чисел. Будем говорить, что <math>a<b</math>, если <math>b-a</math> есть натуральное число. Аксиомы порядка легко проверяются. Из определения сразу следует, что все натуральные числа больше нуля (''положительны''), а все противоположные им меньше нуля (''отрицательны''). Для натуральных чисел новый порядок совпадает со старым{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=170—171}}.

 

=== Непротиворечивость ===

 

Описанная модель доказывает, что приведенная аксиоматика целых чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике натуральных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой<ref name=NECH100/>.

 

== Вариации и обобщения ==