Число Белла: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Maxal (обсуждение | вклад) |
Bezik (обсуждение | вклад) русификации, оформления, десекционирование за малостью |
||
Строка 1:
Значения
В [[комбинаторика|комбинаторике]]
▲Значения чисел Белла <math>B_n</math> для <math>n=0,1,2,\dots</math> образуют последовательность:
▲: 1, {{nums|link=nrl|1|2|5|15|52|203|877|4140|21147|115975|…}} ({{OEIS|A000110}})
Число Белла можно вычислить как сумму [[числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]]:
: <math>B_n = \sum_{m=0}^n S(n,m)</math>,
а также задать в рекуррентной форме:
: <math>B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k</math>.▼
Для чисел Белла справедлива также '''''формула Добинского'''
: <math>B_n = \frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}</math>.
Если <math>p</math> — простое, то верно сравнение Тушара:▼
▲: <math>B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k</math>.
▲Если <math>p</math> простое, то верно сравнение Тушара:
: <math>B_{n+p}\equiv B_n+B_{n+1}\pmod{p}</math>
и более общее:
: <math>B_{n+p^m}\equiv mB_n+B_{n+1} \pmod{p}
[[Производящая функция последовательности|Экспоненциальная производящая функция]] чисел Белла имеет вид{{sfn|Введение в дискретную математику|с=200|2006}}:
: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}</math>.
| |||