Фактормножество: различия между версиями

[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
опечатка
Нет описания правки
Строка 1:
Пусть на множестве <math>X</math> задано [[отношение эквивалентности]] <math>\sim</math>. Тогда множество всех классов эквивалентности называется '''фактормножествомфактор-множеством''' и обозначается <math>X/\!\sim</math>. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его '''факторизацией'''.
 
Отображение из <math>X</math> в множество классов эквивалентности <math>X/\!\sim</math> называется '''факторотображениемфактор-отображением'''. Благодаря свойствам отношения эквивалентности, разбиение на множества единственно. Это означает, что классы, содержащие <math>\forall x,\;y\in X</math>, либо не пересекаются, либо совпадают полностью.
Для любого элемента <math>x\in X</math> однозначно определён некоторый класс из <math>X/\!\sim</math>, иными словами существует [[сюръективное отображение]] из <math>X</math> в <math>X/\!\sim</math>. Класс, содержащий <math>x</math>, иногда обозначают <math>[x]</math>.
 
Если множество снабжено структурой, то часто отображение <math>X\to X/\!\sim</math> можно использовать чтобы снабдить фактормножествофактор-множество <math>X/\!\sim</math> той же структурой, например топологией.
В этом случае множество <math>X/\!\sim</math> с индуцированной структурой называется '''факторпространствомфактор-пространством'''.
 
== [[ФакторпространствоФактор-пространство по подпространству]] ==
Часто отношение эквивалентности вводят следующим образом. Пусть <math>X</math> — [[Векторное пространство|линейное пространство]], а <math>L</math> — некоторое линейное подпространство. Тогда два элемента <math>x,\;y\in X</math> таких, что <math>x-y\in L</math>, называются '''эквивалентными'''. Это обозначается <math>x\,\overset{L}{\sim}\,y</math>. Получаемое в результате факторизации пространство <math>X/\,\overset{L}{\sim}</math> называют '''факторпространствомфактор-пространством по подпространству''' <math>L</math>. Если <math>X</math> разлагается в [[прямая сумма|прямую сумму]] <math>X=L\oplus M</math>, то существует [[изоморфизм]] из <math>M</math> в <math>X/\,\overset{L}{\sim}</math>. Если <math>X</math> — [[конечномерное пространство]], то факторпространствофактор-пространство <math>X/\,\overset{L}{\sim}</math> также является конечномерным и <math>\dim X/\,\overset{L}{\sim}=\dim X-\dim L</math>.
 
== Примеры ==
Если задана [[сюръективное отображение]] <math>f\colon X\to Y</math>, тогда на множестве <math>X</math> задаётся отношение <math>x\sim x'\iff f(x)=f(x')</math>. Можно рассмотреть фактормножествофактор-множество <math>X/\!\sim</math>. Функция <math>f</math> задаёт естественное [[взаимноднозначное]] соответствие между <math>X/\!\sim</math> и <math>Y</math>.
 
Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного факторпространствафактор-пространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.
 
Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножествофактор-множество является линейным пространством и называется факторпространствомфактор-пространством.
 
=== Примеры ===
* [[Проективная плоскость|Проективную плоскость]] <math>\R P^2</math> можно определить как факторпространствофактор-пространство [[Сфера#Двумерная сфера (в трёхмерном пространстве)|двумерной сферы]], задав отношение эквивалентности <math>(x,\;y,\;z)\sim(-x,\;-y,\;-z)</math>.
* [[Бутылка Клейна|Бутылку Клейна]] можно представить как факторпространствофактор-пространство цилиндра <math>S^1\times[0,\;1]</math> по отношению эквивалентности <math>(\varphi,\;0)\sim(-\varphi,\;1)</math> (<math>\varphi\in[-\pi,\;\pi]</math> — угловая координата на окружности).
 
== См. также ==
* [[Факторгруппа|Фактор-группа]]
 
[[Категория:Теория множеств]]