Фактормножество: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
опечатка |
Нет описания правки |
||
Строка 1:
Пусть на множестве <math>X</math> задано [[отношение эквивалентности]] <math>\sim</math>. Тогда множество всех классов эквивалентности называется '''
Отображение из <math>X</math> в множество классов эквивалентности <math>X/\!\sim</math> называется '''
Для любого элемента <math>x\in X</math> однозначно определён некоторый класс из <math>X/\!\sim</math>, иными словами существует [[сюръективное отображение]] из <math>X</math> в <math>X/\!\sim</math>. Класс, содержащий <math>x</math>, иногда обозначают <math>[x]</math>.
Если множество снабжено структурой, то часто отображение <math>X\to X/\!\sim</math> можно использовать чтобы снабдить
В этом случае множество <math>X/\!\sim</math> с индуцированной структурой называется '''
== [[
Часто отношение эквивалентности вводят следующим образом. Пусть <math>X</math> — [[Векторное пространство|линейное пространство]], а <math>L</math> — некоторое линейное подпространство. Тогда два элемента <math>x,\;y\in X</math> таких, что <math>x-y\in L</math>, называются '''эквивалентными'''. Это обозначается <math>x\,\overset{L}{\sim}\,y</math>. Получаемое в результате факторизации пространство <math>X/\,\overset{L}{\sim}</math> называют '''
== Примеры ==
Если задана [[сюръективное отображение]] <math>f\colon X\to Y</math>, тогда на множестве <math>X</math> задаётся отношение <math>x\sim x'\iff f(x)=f(x')</math>. Можно рассмотреть
Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного
Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то
=== Примеры ===
* [[Проективная плоскость|Проективную плоскость]] <math>\R P^2</math> можно определить как
* [[Бутылка Клейна|Бутылку Клейна]] можно представить как
== См. также ==
* [[Факторгруппа|Фактор-группа]]
[[Категория:Теория множеств]]
|