On the restricted ordinal theorem |journal=[[Journal of Symbolic Logic]] |volume=9 |year=1944 |pages=33–41 }}</ref>. Утверждает, что все последовательности Гудстейна заканчиваются нулём. Как показали [[Кирби, Лори|Л. Кирби]] и {{Не переведено|:en:Jeff Paris|Парис, [[Джефф|Дж. Парис}}]]<ref>{{Citation |last=Kirby |first=L. |authorlink=Laurie Kirby |last2=Paris |first2=J. |authorlink2=Jeff Paris |url=http://reference.kfupm.edu.sa/content/a/c/accessible_independence_results_for_pean_59864.pdf |title=Accessible independence results for Peano arithmetic |journal=Bulletin London Mathematical Society |volume=14 |year=1982 |pages=285–293 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110825205826/http://reference.kfupm.edu.sa/content/a/c/accessible_independence_results_for_pean_59864.pdf |archivedate=2011-08-25 |deadlink=404 }}</ref><ref>Роджер Пенроуз. Большое малое и человеческий разум. Приложение 1.</ref>, теорема Гудстейна эквивалентна утверждению о непротиворечивости [[аксиомы Пеано|арифметики Пеано]] <math>(PA)</math>, а поэтому, в силу [[Теорема Гёделя о неполноте#Вторая теорема Гёделя|второй теоремы Гёделя]] и непротиворечивости <math>PA</math>, теорема Гудстейна недоказуема в <math>PA</math> (но может быть доказана, например, в [[арифметика второго порядка|арифметике второго порядка]]).
