1519
правок
Алгебраическое расширение: различия между версиями
нет описания правки
Lockalbot (обсуждение | вклад) м (робот удалил: eo:Vikipedio:Projekto matematiko/Algebra vastigaĵo) |
Нет описания правки |
||
|
'''Алгебраи́ческое расшире́ние''' — [[расширение поля]] ''E<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'', каждый элемент ''α'' которого алгебраичен над ''K'', т.е. существует многочлен ''f(x)'' с коэффициентами из ''K'' для которого ''α'' является корнем. Например, все [[Конечное расширение|конечные расширения]] алгебраичны.
== Свойства алгебраических расщирений ==
[[категория:Абстрактная алгебра]]▼
Пусть ''K<span style='font-family:
Symbol'>Ì</span> E<span style='font-family:
Symbol'>Ì</span> F''. Если ''E<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' и ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> E'' алгебраичны, то и ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' алгебраично. Обратно, если ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' алгебраично, то и ''E<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' и ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' алгебраичны.
В самом деле, если ''α'' — какой-нибудь элемент ''F'', то он по определению является корнем некоторого многочлена ''f(x)'' с коэффициентами ''a<sub>1</sub>,...a<sub>n</sub>'' из ''E''. Так как все эти ''a<sub>i</sub>'' алгебраичны над ''K'', то расширение ''K(a<sub>1</sub>,...a<sub>n</sub>)'' является [[Конечное расширение|конечным]] над ''K'', а так как ''α'' алгебраично над ''L=K(a<sub>1</sub>,...a<sub>n</sub>)'', то имеем по свойству башни конечных расширений, что ''L(α)'' конечно над ''K'', а элемент α алгебраичен над ''K''. Обратное утверждение очевидно.
Если ''α'' и ''β'' алгебраичны над ''K'', то из предыдущего следует, что ''K(α,β)=K(α)(β)'' алгебраично над ''K'', а значит, ''α+β,α-β,αβ,α/β'' тоже алгебраичны. Отсюда следует, что если ''K<span style='font-family:
Symbol'>Ì</span> E'', то множество элементов ''K<sup>*</sup><span style='font-family:Symbol'>Ì</span> E'', алгебраических над ''К'' образуют поле. Если ''E'' является [[Алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнутым]], то и ''K<sup>*</sup>'' алгебраически замкнуто. Если взять за ''K'' поле [[Рациональное число|рациональных чисел]] '''R''', а за ''E'' алгебраически замкнутое по [[Основная теорема алгебры|основной теореме алгебры]] поле [[Комплексное число|комплексных чисел]] '''C''', то получим поле [[Алгебраическое число|алгебраических чисел]] '''A'''.
Если ''E<span style='font-family:
Symbol'>Ì</span> K'' алгебраично, то для любого расширения ''F<span style='font-family:
Symbol'>Ì</span> K'' то (если ''F'' и ''E'' содержатся в каком-нибудь поле) композит полей ''EF'' является алгебраическим расширением ''F''). Это легко следует из предыдущего.
== Литература ==
* Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
* Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
* Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
[[Категория:Теория полей]]
[[de:Algebraische Erweiterung]]
| |||