Алгебраическое расширение: различия между версиями

нет описания правки
Нет описания правки
'''Алгебраи́ческое расшире́ние''' — [[расширение поля]] ''E<span style='font-family:Symbol'>&Eacute;</span> K'', каждый элемент ''&alpha;'' которого алгебраичен над ''K'', т.е. существует многочлен ''f(x)'' с коэффициентами из ''K'' для которого ''&alpha;'' является корнем. Например, все [[Конечное расширение|конечные расширения]] алгебраичны.
В [[абстрактная алгебра|абстрактной алгебре]] [[расширение поля]] ''L''/''K'' называется '''алгебраическим''', если каждый элемент из ''L'' является [[корень|корнем]] некоторого [[многочлен]]а с коэффициентами из ''K''.
 
== Свойства алгебраических расщирений ==
[[категория:Абстрактная алгебра]]
 
Пусть ''K<span style='font-family:
Symbol'>&Igrave;</span> E<span style='font-family:
Symbol'>&Igrave;</span> F''. Если ''E<span style='font-family:Symbol'>&Eacute;</span> K'' и ''F<span style='font-family:Symbol'>&Eacute;</span> E'' алгебраичны, то и ''F<span style='font-family:Symbol'>&Eacute;</span> K'' алгебраично. Обратно, если ''F<span style='font-family:Symbol'>&Eacute;</span> K'' алгебраично, то и ''E<span style='font-family:Symbol'>&Eacute;</span> K'' и ''F<span style='font-family:Symbol'>&Eacute;</span> K'' алгебраичны.
 
В самом деле, если ''&alpha;'' — какой-нибудь элемент ''F'', то он по определению является корнем некоторого многочлена ''f(x)'' с коэффициентами ''a<sub>1</sub>,...a<sub>n</sub>'' из ''E''. Так как все эти ''a<sub>i</sub>'' алгебраичны над ''K'', то расширение ''K(a<sub>1</sub>,...a<sub>n</sub>)'' является [[Конечное расширение|конечным]] над ''K'', а так как ''&alpha;'' алгебраично над ''L=K(a<sub>1</sub>,...a<sub>n</sub>)'', то имеем по свойству башни конечных расширений, что ''L(&alpha;)'' конечно над ''K'', а элемент &alpha; алгебраичен над ''K''. Обратное утверждение очевидно.
 
Если ''&alpha;'' и ''&beta;'' алгебраичны над ''K'', то из предыдущего следует, что ''K(&alpha;,&beta;)=K(&alpha;)(&beta;)'' алгебраично над ''K'', а значит, ''&alpha;+&beta;,&alpha;-&beta;,&alpha;&beta;,&alpha;/&beta;'' тоже алгебраичны. Отсюда следует, что если ''K<span style='font-family:
Symbol'>&Igrave;</span> E'', то множество элементов ''K<sup>*</sup><span style='font-family:Symbol'>&Igrave;</span> E'', алгебраических над ''К'' образуют поле. Если ''E'' является [[Алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнутым]], то и ''K<sup>*</sup>'' алгебраически замкнуто. Если взять за ''K'' поле [[Рациональное число|рациональных чисел]] '''R''', а за ''E'' алгебраически замкнутое по [[Основная теорема алгебры|основной теореме алгебры]] поле [[Комплексное число|комплексных чисел]] '''C''', то получим поле [[Алгебраическое число|алгебраических чисел]] '''A'''.
 
Если ''E<span style='font-family:
Symbol'>&Igrave;</span> K'' алгебраично, то для любого расширения ''F<span style='font-family:
Symbol'>&Igrave;</span> K'' то (если ''F'' и ''E'' содержатся в каком-нибудь поле) композит полей ''EF'' является алгебраическим расширением ''F''). Это легко следует из предыдущего.
 
== Литература ==
 
* Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
* Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
* Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
 
[[категорияКатегория:Абстрактная алгебра]]
[[Категория:Теория полей]]
 
[[de:Algebraische Erweiterung]]
1519

правок