|
[[Файл:Sine Cosine Graph.svg|thumb|300px|Графики функций ''f''(''x'') = sin(''x'') (красная линия) и ''g''(''x'') = cos(''x'') (зелёная линия) в декартовой системе координат. По оси абсцисс отложены значения полной фазы.]]
'''Гармонические колебания''' — колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по гармоническому ([[синусоида|синусоидальному]], косинусоидальному) закону.
== Математическое описание ==
Уравнение гармонического колебания имеет вид
: <math>x(t) = A \sin (\omega t + \varphi)</math>
или
: <math>x(t) = A \cos (\omega t + \varphi)</math>,
где ''х'' — отклонение колеблющейся величины в текущий момент времени ''t'' от среднего за период значения (например, в кинематике — смещение, отклонение колеблющейся точки от положения равновесия); ''А'' — амплитуда колебания, т.е. максимальное за период отклонение колеблющейся величины от среднего за период значения, размерность ''A'' совпадает с размерностью ''x''; ''ω'' ([[радиан]]/[[секунда|с]], [[Градус (геометрия)|градус]]/с) — циклическая частота, показывающая, на сколько радиан (градусов) изменяется фаза колебания за 1 с; <math>(\omega t + \varphi)</math> (радиан, градус) — полная [[Фаза колебаний|фаза]] колебания (сокращённо — фаза, не путать с начальной фазой); <math>\varphi</math> (радиан, градус) — начальная фаза колебаний, которая определяет значение полной фазы колебания (и самой величины ''x'') в момент времени ''t'' = 0.
[[Дифференциальное уравнение]], описывающее гармонические колебания, имеет вид
: <math>\frac{d^2 x}{d t^2} + \omega^2 x = 0.</math>
Любое нетривиальное<ref>То есть не равное тождественно нулю.</ref> решение этого дифференциального уравнения — гармоническое колебание с циклической частотой <math>\omega.</math>
== Примеры ==
При равномерном [[круговое движение|движении точки по окружности]] гармоническое колебание совершает [[Проекция (геометрия)|проекция]] (ортогональная) этой точки на любую [[прямая|прямую]], лежащую в той же [[Плоскость (геометрия)|плоскости]]{{sfn|Ландсберг|2003|с=17}}. Колебания, близкие к гармоническим, совершает под действием [[Гравитация|силы тяготения]] маленький грузик, подвешенный на тонкой длинной нити — [[математический маятник]] — при малых амплитудах{{sfn|Ландсберг|2003|с=2,25}}. Гармонические колебания под действием [[сила упругости|силы упругости]] совершает закреплённый между двумя пружинами на горизонтальной направляющей грузик{{sfn|Ландсберг|2003|с=27—29}}. Гармоническими являются [[Крутильный маятник|крутильные колебания]] раскручивающегося под действием силы упругости подвешенного вертикально грузика, такие же колебания совершает балансир [[Механические часы|механических часов]]{{sfn|Ландсберг|2003|с=29—30}}.
Вообще, [[материальная точка]] совершает гармонические колебания, если они происходят в результате воздействия на точку силы, пропорциональной смещению колеблющейся точки от положения равновесия и направленной противоположно этому смещению.
== Виды колебаний ==
[[Файл:Fasorxva.gif|right|thumb|Эволюция во времени перемещения, скорости и ускорения при гармоническом движении]]
* '''[[Свободные колебания]]''' совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала [[диссипация энергии]] (при ненулевой диссипации, в системе после возбуждения происходят [[затухающие колебания]]).
* '''[[Вынужденные колебания]]''' совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы вынужденные колебания были гармоническими, достаточно, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила (воздействие) менялась со временем как гармоническое колебание (то есть, чтобы зависимость от времени этой силы тоже, в свою очередь, была синусоидальной).
== Применение ==
Гармонические колебания выделяются из всех остальных видов колебаний по следующим причинам:
* Очень часто<ref>Подразумеваемым условием здесь является то, что свойства системы должны быть постоянны во времени (что в реальности достаточно часто выполняется, по крайней мере, приближенно).</ref> малые колебания, как '''свободные''', так и '''вынужденные''', которые происходят в реальных системах, можно считать имеющими форму гармонических колебаний или очень близкую к ней.
* Как установил в [[1822 год в науке|1822 год]]у [[Фурье, Жан Батист Жозеф|Фурье]], широкий класс периодических функций может быть разложен на сумму тригонометрических компонентов — в [[ряд Фурье]]. Другими словами, любое периодическое колебание может быть представлено как сумма гармонических колебаний с соответствующими амплитудами, частотами и начальными фазами. Среди слагаемых этой суммы существует гармоническое колебание с наименьшей частотой, которая называется основной частотой, а само это колебание — первой [[натуральный звукоряд|гармоникой]] или основным тоном, частоты же всех остальных слагаемых, гармонических колебаний, кратны основной частоте, и эти колебания называются высшими гармониками или [[обертон]]ами — первым, вторым и т.д.{{sfn|Ландсберг|2003|с=43}}
* Для широкого класса систем откликом на гармоническое воздействие является гармоническое колебание (свойство линейности), при этом связь воздействия и отклика является устойчивой характеристикой системы. С учётом предыдущего свойства это позволяет исследовать прохождение колебаний произвольной формы через системы.
== См. также ==
* [[Гармонический осциллятор]]
* [[Математический маятник]]
* [[Физический маятник]]
* [[Псевдогармонические колебания]]
== Примечания ==
{{примечания}}
== Литература ==
* {{книга|заглавие=Элементарный учебник физики|ответственный=Под ред. [[Ландсберг, Григорий Самуилович|Г.С. Ландсберга]]|том=3. Колебания и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика|издание=13-е изд|место=М.|издательство=[[Физматлит|ФИЗМАТЛИТ]]|год=2003|ref=Ландсберг}}
* {{книга |автор=Хайкин С. Э. |заглавие=Физические основы механики |место=М. |год=1963}}
* {{книга |автор=А. М. Афонин. |заглавие=Физические основы механики |издательство=Изд. МГТУ им. Баумана |год=2006}}
* {{книга |автор=Горелик Г. С. |заглавие=Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику |место=М. |издательство=Физматлит |год=1959 |страниц=572}}
| 