Начальные и граничные условия: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м орфография |
Holic (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 16:
Уравнение <math>\frac{d^2 y}{dt^2}=-g</math> описывает движение тела в [[поле земного тяготения]]. Ему удовлетворяет любая квадратичная функция вида
<math>y(t)=-gt^2/2+at+b</math>, где <math>a, b</math> — произвольные числа. Для выделения конкретного закона движения необходимо указать начальную координату тела и его скорость, то есть начальные условия.
== Корректность постановки граничных условий ==
Задачи математической физики описывают реальные физические процессы, а потому их постановка должна удовлетворять следующим естественным требованиям:
#Решение должно ''существовать'' в каком-либо классе функций;
#Решение должно быть ''единственным'' в каком-либо классе функций;
#Решение должно ''непрерывно зависеть от данных'' (начальных и граничных условий, свободного члена, коэффициентов и т.д.).
Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближенно, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешности измерений. Математически это требование можно записать, например, так (для независимости от свободного члена):
Пусть задано два дифференциальных уравнения: <math>Lu=F_1,~Lu=F_2</math> с одинаковыми дифференциальными операторами и одинаковыми граничными условиями, тогда их решения будут непрерывно зависеть от свободного члена, если:<br />
::<math>\forall \delta>0~\exist\epsilon>0:~\|F_1-F_2\|<\delta\rightarrow\|u_1-u_2\|<\epsilon,~u_1,~u_2-</math> решения соответствующих уравнений.
Множество функций, для которых выполняются перечисленные требования, называется '''классом корректности'''. Из некорректно поставленных задач широко известен [[пример Адамара]].
== См. также ==
* [[Задача Коши]]
* [[Краевая задача]]
== Литература ==
{{книга|автор=Владимиров В.С., Жаринов В.В.| заглавие=Уравнения математической физики|издательство=Физматлит|год=2004|isbn=5-9221-0310-X}}
{{math-stub}}
| |||