Линейная форма: различия между версиями

6766 байт добавлено ,  3 года назад
объединил конечномерный и бесконечномерный случаи, со статьёй Линейный функционал
(объединил конечномерный и бесконечномерный случаи, со статьёй Линейный функционал)
'''ЛинейнаяЛине́йная форма, лине́йный функционал'''   однородный [[многочлен]] первой степени, иначе говоря, [[Линейная функция|линейная]] (однородная) функция на [[векторное пространство|векторном пространстве]] <math>V</math> над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>k</math> со значениями в поле <math>k</math>. Обладает [[линейность|свойством линейности]] по своему аргументу:
:: <math>\Phi[\mathbf f+\mathbf g] = \Phi[\mathbf f] + \Phi[\mathbf g]</math>
:: <math>\Phi[c\ \mathbf f] = c\ \Phi[\mathbf f]</math>
где <math>\Phi</math> — линейная форма, <math>\mathbf f</math> и <math>\mathbf g</math> — функции из его области определения, <math>c</math> — число (константа).
 
Иными словами, это [[линейное отображение]] из (некоторого) пространства функций во множество чисел — чаще всего подразумеваемых вещественными,
== Свойства ==
или, еще иначе, [[линейный оператор]], действующий из (некоторого) пространства функций в [[вещественные числа|<math>\mathbb R</math>]] (иногда в [[комплексные числа|<math>\mathbb C</math>]]).
 
Линейные функционалы играют особую роль в [[функциональный анализ|функциональном анализе]].
 
* Как и вообще термин 'функционал', термин 'линейный функционал' употребляется и вообще для аргументов из [[Векторное пространство|векторных пространств]] — в смысле линейного отображения из какого-то векторного пространства в его пространство [[скаляр]]ов, то есть — в этом употреблении — его аргументом может быть не обязательно функция.
* Линейный функционал является аналогом [[оператор проецирования|оператора проецирования]] для бесконечномерных пространств (в частности, для пространств функций), а также применяется как обобщающий термин, покрывающий равно случаи конечномерных и бесконечномерных пространств.
* Одним из важнейших примеров линейного функционала служит [[скалярное произведение]] с фиксированной функцией (элементом пространства):
:: <math>\Phi[\mathbf f] = \int_\Omega f(x) \phi(x) d\Omega</math>
(может быть также использовано интегрирование с весовой функцией).
 
* Такие линейные функционалы, представляющие скалярное произведение <math>\mathbf f</math> с каждой из базисных функций полного набора, дают прямое [[преобразование Фурье]].
 
== Свойства ==
* Множество всех линейных форм на <math>V</math> является линейным пространством относительно операций сложения и умножения на элемент из <math>k</math>. Это пространство называется [[сопряженное пространство|сопряженным]] к <math>V</math> и обозначается <math>V^\ast</math> .
* [[Ядро (алгебра)|Ядро]] линейной формы (линейного функционала) — линейное пространство. В невырожденном случае оно является [[гиперплоскость]]ю.
** В частности, при <math>n = 3</math> ядро линейного функционала <math>l_1 x + l_2 y + l_3 z = 0</math> — плоскость в трёхмерном пространстве, причем коэффициенты функционала суть координаты нормального вектора плоскости.
 
== Примеры ==
* <math>\Phi[\mathbf f] = \int_{\Omega} L f(x) d\Omega</math>, где <math>L</math> — линейный оператор, действующий на функцию <math>f(x)</math>, <math>\Omega</math> — область интегрирования,
в частности:
:* <math>\int_1^2 f(x) dx</math>,
:* <math>\int_1^2( 5 \frac{d^2f}{dx^2} + 2 \frac{df}{dx} + 3f) dx</math>,
:* <math>\int_1^2\int_3^4 f(x,y) dx dy</math>,
:* <math>\int_1^2 K(x) f(x) dx</math>, где <math>\mathbf K</math> — некоторая фиксированная функция,
<!-- :* <math>\int_1^2 \int_{-\infty}^{+\infty} K(\xi) f(\xi) d\xi dx</math> внутренний интеграл не зависит от x, таким образом его можно вынести за знак внешнего интеграла и этот пример превращается в предыдущий -->
 
 
* <math>\Phi[\mathbf f] = f(11)</math>
* <math>\Phi[\mathbf f] = f(1) - f(0)</math>
* <math>\Phi[\mathbf f] = \frac{d^3f}{dx^3}|_{x=0}</math>
* <math>\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,3) dx</math>
 
 
(легко убедиться, что для всех этих примеров свойство линейности отображения соблюдается).
 
== Замечания ==
* Особую роль играют '''[[непрерывная функция#Обобщения|непрерывные]] линейные функционалы''', иначе называемые [[обобщённая функция|обобщёнными функциями]]. Свойство непрерывности линейного функционала зависит от класса функций (пространства), на котором он действует. Так, нетрудно видеть, что некоторые из приведённых выше функционалов [[непрерывная функция#Обобщения|не непрерывны]] при действии на разрывные функции (можно легко привести такие примеры). Однако на [[сепарабельное пространство|сепарабельных пространствах]] — то есть в наиболее употребительном и конструктивно разработанном случае — все они непрерывны.
* Используя [[обобщённая функция|обобщённые функции]], в частности [[дельта-функция|дельта-функцию Дирака]] и её производные, можно многие линейные функционалы, в частности из приведённых в качестве примеров выше, представить в виде [[Функционал#Виды функционалов|интегральных функционалов]], например:
* <math>\Phi[\mathbf f] = f(1) - f(0) = \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-1)f(x)dx - \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-0)f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}( \delta(x-1) - \delta(x) ) f(x)dx</math>.
 
В обычном абстрактном определении обобщённой функции она и определяется просто как непрерывный линейный функционал (в традиционном понимании и записи функционал порождается подразумеваемым интегрированием с обобщённой функцией).
 
== См. также ==
 
[[Категория:Линейная алгебра]]
[[Категория:Функционалы]]
[[Категория:Функции]]