Линейная форма: различия между версиями

137 байт убрано ,  3 года назад
Нет описания правки
(объединил конечномерный и бесконечномерный случаи, со статьёй Линейный функционал)
'''Лине́йная форма, лине́йный функционал''' — [[Линейнаялинейное функция|линейнаяотображение]], (однородная) функциядействующее наиз [[векторное пространство|векторномвекторного пространствепространства]] <math>VL</math> над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>kK</math> со значениями в поле <math>kLK</math>. Обладает [[линейность|свойствомУсловие линейности]] позаключается своемув аргументувыполнении следующих двух свойств:
:: <math>\Phi[\mathbf (f+\mathbf g]) = \Phi[\mathbf (f]) + \Phi[\mathbf (g]),</math>
:: <math>\Phi[c(\ \mathbfalpha f]) = c\alpha \Phi[\mathbf, \Phi(f])</math>
для любых двух векторов <math>f,g \in L</math> и любого <math>\alpha \in K</math>.
где <math>\Phi</math> — линейная форма, <math>\mathbf f</math> и <math>\mathbf g</math> — функции из его области определения, <math>c</math> — число (константа).
Таким образом, линейная форма (линейный функционал) является частным случаем понятия [[линейный оператор|линейного оператора]], действующего из одного векторного пространства в другое векторное пространство: <math>L_K\to M_K</math>, рассматриваемых над одним и тем же полем <math>K</math>. Именно, в случае линейной формы векторное пространство <math>M_K=K</math>.
 
Иными словами, это [[линейное отображение]] из (некоторого) пространства функций во множество чисел — чаще всего подразумеваемых вещественными,
или, еще иначе, [[линейный оператор]], действующий из (некоторого) пространства функций в [[вещественные числа|<math>\mathbb R</math>]] (иногда в [[комплексные числа|<math>\mathbb C</math>]]).
 
Линейные функционалы играют особую роль в [[функциональный анализ|функциональном анализе]].