Линейная форма: различия между версиями

626 байт добавлено ,  3 года назад
Нет описания правки
Термин ''линейная форма'' обычно используют в алгебре и алгебраической геометрии, чаще всего говоря при этом о конечномерных векторных пространствах. Термин ''линейный функционал'' распространён в [[функциональный анализ|функциональном анализе]], причем чаще всего речь идет о бесконечномерных векторных пространствах, элементами которых являются функции того или иного класса, и термин ''функционал'' подчеркивает то, что рассматривается функция (отображение), аргументом которой являются функции. В качестве поля <math>K</math> чаще всего используются поля [[вещественные числа|<math>\mathbb R</math>]] или [[комплексные числа|<math>\mathbb C</math>]].
 
== Свойства ==
* Множество всех линейных форм на <math>V</math> является линейным пространством относительно операций сложения и умножения на элемент из <math>k</math>. Это пространство называется [[сопряженное пространство|сопряженным]] к <math>V</math> и обозначается <math>V^\ast</math> .
** [[Ядро (алгебра)|Ядро]] линейной формы (линейного функционала) — линейное пространство. В невырожденном случае оно является [[гиперплоскость]]ю. В частности, при <math>n = 3</math> ядро линейного функционала <math>l_1 x + l_2 y + l_3 z = 0</math> — плоскость в трёхмерном пространстве, причем коэффициенты функционала суть координаты нормального вектора плоскости.
 
== Примеры ==
* Простейшим примером линейной формы является [[Линейная функция|линейная]] однородная функция одного вещественного или комплексного переменного.
 
* Пусть пространство <math>L</math> состоит из функций <math>f(x)</math>, непрерывных на множестве <math>\Omega</math>. Тогда для любых <math>x_i \in \Omega</math> выражения <math>\Phi(f) = f(x_0)</math> и <math>\Phi(f) = \alpha_1 f(x_1) + \alpha_2 f(x_2)</math> задают линейные функционалы на <math>L</math>.
 
* Пусть пространство <math>L</math> состоит из функций <math>f(x)</math>, ''n'' раз непрерывно дифференцируемых на множестве <math>\Omega</math>. Выражение
* <math>\Phi[\mathbf (f]) = \sum_{i=0}^n \alpha_iш \frac{d^3fi f}{dx^3}|_{x=0i}(x_i)</math>
задает линейный функционал на <math>L</math>.
 
* Одним из важнейших примеров линейного функционала служит [[скалярное произведение]] вектора-аргумента <math>f \in L</math> и некоторого фиксированного вектора <math>\phi \in L</math>: math>\Phi(f) = \langle f, \phi\rangle</math>. Если векторное пространство <math>L</math> конечномерное, то приведенная формула исчерпывает все возможные линейные функционалы на <math>L</math>, поэтому пространство линейных функционалов на <math>L</math> (так называемое [[сопряженное пространство]] <math>L^*</math>) может быть отождествлено с самим <math>L</math> с помомщью сопоставления <math>\Phi \to \phi</math>, которое в этом случае является [[изоморфизм]]ом. Однако в случае бесконечномерных пространств это не так.
 
Такие линейные функционалы используются, например, при определении [[преобразование Фурье|преобразования Фурье]].
 
* Пусть <math>A \colon L \to L</math> — линейный оператор, отображающие векторное пространство в себя, и
== Свойства ==
* Множество всех линейных форм на <math>V</math> является линейным пространством относительно операций сложения и умножения на элемент из <math>k</math>. Это пространство называется [[сопряженное пространство|сопряженным]] к <math>V</math> и обозначается <math>V^\ast</math> .
* [[Ядро (алгебра)|Ядро]] линейной формы (линейного функционала) — линейное пространство. В невырожденном случае оно является [[гиперплоскость]]ю.
** В частности, при <math>n = 3</math> ядро линейного функционала <math>l_1 x + l_2 y + l_3 z = 0</math> — плоскость в трёхмерном пространстве, причем коэффициенты функционала суть координаты нормального вектора плоскости.
 
 
== Примеры ==
 
* <math>\Phi[\mathbf f] = \int_{\Omega} L f(x) d\Omega</math>, где <math>L</math> — линейный оператор, действующий на функцию <math>f(x)</math>, <math>\Omega</math> — область интегрирования,
 
 
* <math>\Phi[\mathbf f] = \int_{\Omega} L f(x) d\Omega</math>, где <math>L</math> — линейный оператор, действующий на функцию <math>f(x)</math>, <math>\Omega</math> — область интегрирования,
в частности:
:* <math>\int_1^2 f(x) dx</math>,
 
 
* <math>\Phi[\mathbf f] = f(11)</math>
* <math>\Phi[\mathbf f] = f(1) - f(0)</math>
* <math>\Phi[\mathbf f] = \frac{d^3f}{dx^3}|_{x=0}</math>
* <math>\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,3) dx</math>
 
 
(легко убедиться, что для всех этих примеров свойство линейности отображения соблюдается).
 
== Связанные понятия==
== Замечания ==
* При изучении бесконечномерных функциональных пространствах особую роль играют '''[[непрерывная функция#Обобщения|непрерывные]] линейные функционалы''', иначе называемые [[обобщённая функция|обобщёнными функциями]]. Свойство непрерывности линейного функционала зависит от класса функций (пространства), на котором он действует. Так, нетрудно видеть, что некоторые из приведённых выше функционалов [[непрерывная функция#Обобщения|не непрерывны]] при действии на разрывные функции (можно легко привести такие примеры). Однако на [[сепарабельное пространство|сепарабельных пространствах]] — то есть в наиболее употребительном и конструктивно разработанном случае — все они непрерывны.
* Используя [[обобщённая функция|обобщённые функции]], в частности [[дельта-функция|дельта-функцию Дирака]] и её производные, можно многие линейные функционалы, в частности из приведённых в качестве примеров выше, представить в виде [[Функционал#Виды функционалов|интегральных функционалов]], например: