Линейная форма: различия между версиями

 
* Пусть пространство <math>L</math> состоит из функций <math>f(x)</math>, ''n'' раз непрерывно дифференцируемых на множестве <math>\Omega</math>. Выражение
* <math>\Phi(f) = \sum_{i=0}^n \alpha_iшalpha_i \frac{d^i f}{dx^i}(x_i)</math>
задает линейный функционал на <math>L</math>.
 
* Одним из важнейших примеров линейного функционала служит [[скалярное произведение]] вектора-аргумента <math>f \in L</math> и некоторого фиксированного вектора <math>\phi \in L</math>: <math>\Phi(f) = \langle f, \phi\rangle</math>. Если векторное пространство <math>L</math> конечномерное, то приведенная формула исчерпывает все возможные линейные функционалы на <math>L</math>, поэтому пространство линейных функционалов на <math>L</math> (так называемое [[сопряженное пространство]] <math>L^*</math>) может быть отождествлено с самим <math>L</math> с помомщью сопоставления <math>\Phi \to \phi</math>, которое в этом случае является [[изоморфизм]]ом. Однако в случае бесконечномерных пространств это не так.
 
* В функциональном анализе скалярное произведение часто задается с помощью интеграла (обычно используется [[интеграл Лебега]]). В этом случае приведенная выше формула для линейного функционала принимает вид
:* <math>\int_1^2 K(x) f(x) dx</math>, где <math>\mathbf K</math> — некоторая фиксированная функция,
<!-- :* <math>\int_1^2 \int_{-\infty}^{+\infty} K(\xi) f(\xi) d\xi dx</math> внутренний интеграл не зависит от x, таким образом его можно вынести за знак внешнего интеграла и этот пример превращается в предыдущий -->
 
 
 
 
 
== Связанные понятия==