Линейная форма: различия между версиями

1 байт добавлено ,  3 года назад
* При изучении бесконечномерных функциональных пространствах особую роль играют '''[[непрерывная функция#Обобщения|непрерывные]] линейные функционалы''', иначе называемые [[обобщённая функция|обобщёнными функциями]]. Свойство непрерывности линейного функционала зависит от класса функций (пространства), на котором он действует. Так, нетрудно видеть, что некоторые из приведённых выше функционалов [[непрерывная функция#Обобщения|не непрерывны]] при действии на разрывные функции (можно легко привести такие примеры). Однако на [[сепарабельное пространство|сепарабельных пространствах]] — то есть в наиболее употребительном и конструктивно разработанном случае — все они непрерывны.
* Используя [[обобщённая функция|обобщённые функции]], в частности [[дельта-функция|дельта-функцию Дирака]] и её производные, можно многие линейные функционалы, в частности из приведённых в качестве примеров выше, представить в виде [[Функционал#Виды функционалов|интегральных функционалов]], например:
*: <math>\Phi(f) = f(1) - f(0) = \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-1)f(x)dx - \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-0)f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}( \delta(x-1) - \delta(x) ) f(x)dx</math>.
: В обычном абстрактном определении обобщённой функции она и определяется просто как непрерывный линейный функционал (в традиционном понимании и записи функционал порождается подразумеваемым интегрированием с обобщённой функцией).
 
В обычном абстрактном определении обобщённой функции она и определяется просто как непрерывный линейный функционал (в традиционном понимании и записи функционал порождается подразумеваемым интегрированием с обобщённой функцией).
 
== См. также ==