Линейная форма: различия между версиями

4 байта добавлено ,  6 лет назад
м
оформление
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м оформление
Строка 17:
 
* Пусть пространство <math>L</math> состоит из функций <math>f(x)</math>, ''n'' раз непрерывно дифференцируемых на множестве <math>\Omega</math>. Выражение
:: <math>\Phi(f) = \sum_{i=0}^n \alpha_i \frac{d^i f}{dx^i}(x_i), \quad x_i \in \Omega,</math>
: задает линейный функционал на <math>L</math>.
 
* Одним из важнейших примеров линейного функционала служит [[скалярное произведение]] вектора-аргумента <math>f \in L</math> и некоторого фиксированного вектора <math>\phi \in L</math>: <math>\Phi(f) = \langle f, \phi\rangle</math>. В функциональном анализе часто рассматриваются векторные пространства, состоящие из интегрируемых функций, а скалярное произведение задается с помощью интеграла (обычно используется [[интеграл Лебега]]). В этом случае приведенная выше формула для линейного функционала принимает вид
:: <math>\Phi(f) = \int_\Omega f(x) \phi(x) d\omega</math>.
: Такие линейные функционалы используются, например, при определении [[преобразование Фурье|преобразования Фурье]].
 
* Пусть <math>A \colon L \to L</math> — линейный оператор, отображающие в себя векторное пространство <math>L</math>, которое состоит из функций, интегрируемых на некотором множестве <math>\Omega</math>. Тогда выражение
:: <math>\Phi(f) = \int_\Omega A f(x) \phi(x) d\omega</math>.
: задает линейный функционал на пространстве <math>L</math>. Примеры таких линейных функционалов:
::* <math> \int_\Omega f(x) d\omega</math>,
Строка 34:
* При изучении бесконечномерных функциональных пространствах особую роль играют '''[[непрерывная функция#Обобщения|непрерывные]] линейные функционалы''', иначе называемые [[обобщённая функция|обобщёнными функциями]]. Свойство непрерывности линейного функционала зависит от класса функций (пространства), на котором он действует. Так, нетрудно видеть, что некоторые из приведённых выше функционалов [[непрерывная функция#Обобщения|не непрерывны]] при действии на разрывные функции (можно легко привести такие примеры). Однако на [[сепарабельное пространство|сепарабельных пространствах]] — то есть в наиболее употребительном и конструктивно разработанном случае — все они непрерывны.
* Используя [[обобщённая функция|обобщённые функции]], в частности [[дельта-функция|дельта-функцию Дирака]] и её производные, можно многие линейные функционалы, в частности из приведённых в качестве примеров выше, представить в виде [[Функционал#Виды функционалов|интегральных функционалов]], например:
:: <math>\Phi(f) = f(1) - f(0) = \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-1)f(x)dx - \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-0)f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}( \delta(x-1) - \delta(x) ) f(x)dx</math>.
: В обычном абстрактном определении обобщённой функции она и определяется просто как непрерывный линейный функционал (в традиционном понимании и записи функционал порождается подразумеваемым интегрированием с обобщённой функцией).