Линейная форма: различия между версиями

44 байта добавлено ,  3 года назад
Нет описания правки
(→‎Примеры: дополнение)
 
Термин ''линейная форма'' обычно используют в алгебре и алгебраической геометрии, чаще всего говоря при этом о конечномерных векторных пространствах. Термин ''линейный функционал'' распространён в [[функциональный анализ|функциональном анализе]], причем чаще всего речь идет о бесконечномерных векторных пространствах, элементами которых являются функции того или иного класса, и термин ''функционал'' подчеркивает то, что рассматривается функция (отображение), аргументом которой являются функции. В качестве поля <math>K</math> чаще всего используются поля [[вещественные числа|<math>\mathbb R</math>]] или [[комплексные числа|<math>\mathbb C</math>]].
 
== Свойства ==
* Множество всех линейных форм на векторном пространстве <math>L</math> само является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на элементы из поля <math>K</math>. Это пространство называется [[сопряженное пространство|сопряженным]] к <math>L</math> и обозначается <math>L^\ast</math> .
* [[Ядро (алгебра)|Ядро]] линейной формы (линейного функционала) — векторное подпространство. Если пространство <math>L</math> конечномерно, ядро линейной формы, не равной тождественно нулю, является [[гиперплоскость]]ю в <math>L</math>. В частности, при <math>\dim L = 3</math> ядро линейной формы <math>l_1 x + l_2 y + l_3 z = 0</math>, где <math>|l_1| + |l_2| + |l_3| \neq 0</math>, — плоскость в трёхмерном пространстве, причем коэффициенты <math>l_i</math> суть координаты нормального вектора плоскости.
 
== Примеры ==
Примеры линейных форм для конечномерного линейного пространства:
* Простейшим примером линейной формы является [[Линейная функция|линейная]] однородная функция одного вещественного или комплексного переменного:
:: <math>y=k x</math>.
 
* [[Скалярное произведение]] аргумента на произвольный вектор является линейной формой:
:: <math>\Phi(f) = \int_\Omega A f(x) \phi(x) d\omega</math>.
: задает линейный функционал на пространстве <math>L</math>. Примеры таких линейных функционалов:
::* <math>\Phi(f) = \int_\Omega f(x) d\omega</math>,
::* <math>\Phi(f) = \int_\Omega f(x)\phi(x) d\omega</math>,
::* <math>\Phi(f) = \int_\Omega \Bigl( \sum_{i=0}^n \alpha_i \frac{d^i f}{dx^i}(x) \Bigr)\,d\omega</math>.
 
== Свойства ==
* Множество всех линейных форм на векторном пространстве <math>L</math> само является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на элементы из поля <math>K</math>. Это пространство называется [[сопряженное пространство|сопряженным]] к <math>L</math> и обозначается <math>L^\ast</math> .
* [[Ядро (алгебра)|Ядро]] линейной формы (линейного функционала) — векторное подпространство. Если пространство <math>L</math> конечномерно, ядро линейной формы, не равной тождественно нулю, является [[гиперплоскость]]ю в <math>L</math>. В частности, при <math>\dim L = 3</math> ядро линейной формы <math>l_1 \Phi(x) = a_1 x_1 + l_2a_2 yx_2 + l_3a_3 zx_3 = 0</math>, где <math>|l_1a_1| + |l_2a_2| + |l_3a_3| \neq 0</math>, — плоскость в трёхмерном пространстве, причем коэффициенты <math>l_ia_i</math> суть координаты нормального вектора плоскости.
 
== Связанные понятия==