Линейная форма: различия между версиями

1047 байт добавлено ,  3 года назад
Нет описания правки
'''Лине́йная форма, лине́йный функционал''' (также используются термины '''1-форма''' и '''ковектор''') — [[линейное отображение]], действующее из [[векторное пространство|векторного пространства]] <math>L</math> над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>K</math> в поле <math>K</math>. Условие линейности заключается в выполнении следующих двух свойств:
:: <math>\Phi(f+g) = \Phi(f) + \Phi(g),</math>
:: <math>\Phi(\alpha f) = \alpha \, \Phi(f)</math>
 
== Свойства ==
* Множество всех линейных форм на векторном пространстве <math>L</math> само является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на элементы из поля <math>K</math>. Это пространство называется [[сопряженное пространство|сопряженным]] к <math>L</math> и обозначается <math>L^\ast</math>. ЕслиВекторы размерностьсопряжённого <math>\dimпространства L</math>принято конечна,называть то''ковекторами''. <math>L^\ast</math>В квантовой механике также принято использовать термины [[ИзоморфизмБра и кет|изоморфнобра-векторы и кет-векторы]] <math>L</math>, однакодля вобозначения бесконечномерномвекторов случаеисходного этопространства неи такковекторов.
 
* Если размерность <math>\dim L</math> конечна, то <math>L^\ast</math> [[Изоморфизм|изоморфно]] <math>L</math>, однако в бесконечномерном случае это не так. В конечномерном случае второе сопряженное пространство <math>(L^\ast)^\ast</math> естественно отождествляется с исходным пространством <math>L</math>. В бесконечномерном случае условие, что пространство <math>L</math> изоморфно <math>(L^\ast)^\ast</math>, весьма нетривиально, такие пространства называют ''рефлексивными''.
 
* [[Ядро (алгебра)|Ядро]] линейной формы (линейного функционала) — векторное подпространство. Если пространство <math>L</math> конечномерно, ядро линейной формы, не равной тождественно нулю, является [[гиперплоскость]]ю в <math>L</math>. В частности, при <math>\dim L = 3</math> ядро линейной формы <math>\Phi(x) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = 0</math>, где <math>|a_1| + |a_2| + |a_3| \neq 0</math>, — плоскость в трёхмерном пространстве, причем коэффициенты <math>a_i</math> суть координаты нормального вектора плоскости.