Линейная форма: различия между версиями

550 байт добавлено ,  3 года назад
 
== Свойства ==
* Множество всех линейных форм на векторном пространстве <math>L</math> само является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на элементы из поля <math>K</math>. Это пространство называется [[сопряженное пространство|сопряженным]] к <math>L</math> и обозначается <math>L^\ast</math><ref>''Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, § 3.7. — М.: Физматлит, 2009.</ref>. Векторы сопряжённого пространства принято называть ''ковекторами''. В квантовой механике также принято использовать термины [[Бра и кет|бра-векторы и кет-векторы]] для обозначения векторов исходного пространства и ковекторов.
 
* Если размерность <math>\dim L</math> конечна, то <math>L^\ast</math> [[Изоморфизм|изоморфно]] <math>L</math>, однако в бесконечномерном случае это не так. В конечномерном случае второе сопряженное пространство <math>(L^\ast)^\ast</math> естественно отождествляется с исходным пространством <math>L</math><ref>''Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, стр. 132. — М.: Физматлит, 2009.</ref>. В бесконечномерном случае условие, что пространство <math>L</math> изоморфно <math>(L^\ast)^\ast</math>, весьма нетривиально, такие пространства называют ''рефлексивными''<ref>''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.</ref>.
 
* [[Ядро (алгебра)|Ядро]] линейной формы (линейного функционала) — векторное подпространство. Если пространство <math>L</math> конечномерно, ядро линейной формы, не равной тождественно нулю, является [[гиперплоскость]]ю в <math>L</math>. В частности, при <math>\dim L = 3</math> ядро линейной формы <math>\Phi(x) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = 0</math>, где <math>|a_1| + |a_2| + |a_3| \neq 0</math>, — плоскость в трёхмерном пространстве, причем коэффициенты <math>a_i</math> суть координаты нормального вектора плоскости.