Линейная форма: различия между версиями

207 байт добавлено ,  3 года назад
* Множество всех линейных форм на векторном пространстве <math>L</math> само является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на элементы из поля <math>K</math>. Это пространство называется [[сопряженное пространство|сопряженным]] к <math>L</math> и обозначается <math>L^\ast</math><ref>''Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, § 3.7. — М.: Физматлит, 2009.</ref>. Векторы сопряжённого пространства принято называть ''ковекторами''. В квантовой механике также принято использовать термины [[Бра и кет|бра-векторы и кет-векторы]] для обозначения векторов исходного пространства и ковекторов.
 
* Если размерность <math>\dim L = n</math> (конечна), то при выборе в пространстве <math>L</math> некоторого [[базис]]а <math>e_1, \ldots, e_n</math> любая линейная форма записывается в виде <math>\Phi(x) = a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n</math>, где вектор <math>x = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n</math> и набор коэффициентов <math>a_i</math> однозначно определяет данную форму. Темы самым, формаФорма <math>\Phi(x)</math> задается набором своим координат <math>a_i</math> в некотором базисе сопряжённого пространства <math>L^\ast</math>, который называется ''взаимным'' или ''двойственным'' к базису <math>e_1, \ldots, e_n</math>. Тем самым, <math>\dim L^* = n</math><ref>''Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, стр. 131. — М.: Физматлит, 2009.</ref>.
 
* Если размерность <math>\dim L</math> конечна, то <math>L^\ast</math> [[Изоморфизм|изоморфно]] <math>L</math>, однако в бесконечномерном случае это не так. В конечномерном случае второе сопряженное пространство <math>(L^\ast)^\ast</math> естественно отождествляется с исходным пространством <math>L</math><ref>''Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, стр. 132. — М.: Физматлит, 2009.</ref>. В бесконечномерном случае условие, что пространство <math>L</math> изоморфно <math>(L^\ast)^\ast</math>, весьма нетривиально, такие пространства называют ''рефлексивными''<ref>''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.</ref>.