Неприводимый многочлен: различия между версиями

: <math>p_1(x)=x^2+4x+4\,={(x+2)(x+2)}</math>,

: <math>p_2(x)=x^2-4\,={(x-2)(x+2)}</math>,

: <math>p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)</math>,

: <math>p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})</math>,

: <math>p_5(x)=x^2+1\,={(x-i)(x+i)}</math>, где [[Мнимая единица|i]]<math>i^2={\sqrt {-1}}</math>.

Над кольцом <math>\Z</math> [[целое число|целых чисел]], первые два многочлена  — приводимые, последние два  — неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).

Над полем <math>\Q</math> [[рациональное число|рациональных чисел]], первые три многочлена являются приводимыми, двое других  — неприводимыми.

Над полем <math>\R</math> [[действительное число|действительных чисел]], первые четыре многочлена  — приводимые, но <math>p_5(x)</math> является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например разложение многочлена <math>x^4 + 1</math> в поле действительных чисел имеет вид <math>(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)</math>.

Над полем <math>\C</math> [[комплексное число|комплексных чисел]], все пять многочленов  — приводимые. Фактически, каждый отличный от константы многочлен <math>p(x)</math> над <math>\C</math> может быть разложен на множители вида:

: <math> p(x) = a(x-z_1)\cdots (x-z_n)</math>

где <math> \ n </math>  — [[степень многочлена]], <math> \ a </math>  — старший коэффициент, <math>\ z_1,\ldots,z_n</math>  — [[корень многочлена|корни]] <math>\ p(x)</math>. Поэтому единственными неприводимыми многочленами над <math> \C </math> являются линейные многочлены ([[основная теорема алгебры]]).