Классификация Энриквеса — Кодаиры: различия между версиями

уточнения, стилевые правки
(уточнения, стилевые правки)
'''Классификация Энриквеса — Кодаиры''' — это классификация [[Компактное пространство|компактных]] комплексных пространствповерхностей на десять классов. Для каждого из этих классов поверхности этих классов можно параметризовать [[Пространство модулей|пространством модулей]]. Для большинства классов пространства модулей хорошо проработаны, но для класса поверхностей общего типа пространства модулей слишком сложны для явного описания, хотя некоторые компоненты известны.
 
[[Нётер, Макс|Макс Нетёр]] начал систематическое изучение алгебраических поверхностей, а [[Кастельнуово, Гвидо|Гвидо Кастельнуово]] доказал важные части классификации. [[Энриквес, Федериго|ЭнрикеЭнриквес]]{{sfn|Enriques|1914}}{{sfn|Enriques|1949}} описал классификацию комплексных проективных поверхностей. [[Кодайра, Кунихико|Кодаира]]{{sfn|Kodaira. I|1964}}{{sfn|Kodaira. II|1966}}{{sfn|Kodaira. III|1968}}{{sfn|Kodaira. IV|1968}} позднее расширил классификацию, длявключив включенияв неалгебраическихнеё компактныхнеалгебраические поверхностейкомпактные поверхности.
 
Аналогичную классификацию поверхностей св характеристикойхарактеристике ''p''  >  0 начал [[Мамфорд, Дэвид|Мамфорд]]{{sfn|Mumford|1969}} и завершили [[Бомбиери, Энрико|Бомбиери]] и Мамфорд{{sfn|Bombieri, Mumford|1976}}{{sfn|Bombieri, Mumford|1977}}. Классификация похожа на случай проективных поверхностей св характеристикойхарактеристике 0, за исключением того, что получаем также сингулярные и суперсингулярные поверхности Энриквеса св характеристикойхарактеристике 2 и квазигиперэллиптические поверхности св характеристикамихарактеристиках 2 и 3.
 
== Утверждение классификации ==
[[Файл:Geography of surfaces.jpg|thumb|500px|Числа Чженя минимальных комплексных поверхностей]]
Классификация Энриквеса — Кодаиры компактных комплексных поверхностей утверждает, что любая несингулярнаянеособая минимальная компактная комплексная поверхность принадлежит в точности одному из 10 типов, перечисленных на этой странице. Другими словами, это одна из рациональных, линейчатых (рода >0), типа VII, K3, поверхностей Энриквеса, Кодаиры, торических, гиперболических, собственных квазиэллиптических или поверхностей общего типа.
 
Для 9 классов поверхностей, отличных от общего типа, существует вполнедостаточно полное описание того, как выглядят все поверхности (которое для класса VII зависит от {{не переведено 5|Поверхность класса VII|гипотезы о глобальной сферической оболочке||Surface of class VII}}, которая остаётся недоказанной). Для поверхностей общего типа известно не так много об их явной классификации, хотя найдено много примеров.
 
Классификация алгебраических поверхностей св положительной характеристикойхарактеристике{{sfn|Mumford|1969}}{{sfn|Bombieri, Mumford|1976}}{{sfn|Bombieri, Mumford|1977}} похожа на классификацию алгебраических поверхностей св характеристикойхарактеристике 0, за исключением того, что нет поверхностей Кодаиры или поверхностей типа VII, а существуют некоторые дополнительные семейства поверхностей Энриквеса св характеристикойхарактеристике 2 и гиперэллиптических поверхностей св характеристикамихарактеристиках 2 и 3. Кроме того, вдля размерности Кодаиры 1 св характеристикамихарактеристиках 2 и 3 допускается квазиэллиптическое расслоение. Эти дополнительные семейства можно понять следующим образом: Вв характеристике 0 эти поверхности являются [[Фактормножество|факторами]] поверхностей по конечным группам, но в конечной характеристике можно также взять факторы по конечным {{не переведено 5|Групповая схема|групповым схемам||group scheme}}, не являющимися {{не переведено 5|Этальная групповая схема|этальными||Étale group scheme}}.
 
[[Зарисский, Оскар|Оскар Зарисский]] построил несколько поверхностей св положительной характеристикойхарактеристике, являющихся {{не переведено 5|Рациональное многообразие|унирациональными||unirational}}, но не рациональными, которые получаются из [[Сепарабельное расширение|несепарабельных расширений]] расширений ({{не переведено 5|Поверхность Зарисского|поверхности Зарисского||Zariski surface}}). Для положительной характеристики Серр показал, что <math>h^0(\Omega)</math> может отличаться от <math>h^1(O) </math>, а Игуса показал, что даже если они совпадают, они могут быть больше {{не переведено 5|НерегулярностьИррегулярность поверхности|нерегулярностииррегулярности||irregularity}} (размерности {{не переведено 5|Многообразие Пикара|многообразия Пикара||Picard variety}}).
 
== Инварианты поверхностей ==
 
=== Числа Ходжа и размерность Кодаиры ===
Большинство важных инвариантов компактных комплексных поверхностей, используемых при классификации, могут быть даны в терминах размерностей различных групп {{не переведено 5|КогомологияКогомологии когерентногокогерентных пучкапучков|когомологий когерентногокогерентных пучкапучков||coherent sheaf cohomology}}. Основными являются {{не переведено 5|Плюрирод|плюрироды||plurigenera}} и числа Ходжа, определяемые следующим образом:
 
* ''K'' — [[Когерентный{{нп5|Каноническое пучокрасслоение|каноническое линейное расслоение]]||Canonical bundle}}, сечениями которого являются голоморфные 2-формы.
* <math>P_n = \mathrm{dim}\, H^0(K^n)</math> для ''n'' ≥ 1 — '''плюрироды'''. Они являются [[Бирациональная геометрия|бирациональными]] инвариантами, то есть инвариантами поотносительно [[Раздутие|раздутиюраздутий]]. Используя теорию Зайберга — Виттена, Фридман и Морган показали, что для комплексных многообразий плюрироды зависят лишь от лежащих в основе ориентированных гладких 4-многообразий. Для некэлеровых поверхностей плюрироды определяются фундаментальной группой, но для [[Кэлерово многообразие|кэлеровых поверхностей]] существуют примеры гомеоморфных поверхностей, имеющих разные плюрироды и размерности Кодаиры. Плюрироды индивидуально употребляются не часто, наиболее важная вещь относительно их — их скорость роста, измеряемая {{не переведено 5|Размерность Кодаиры|размерностью Кодаиры||Kodaira dimension}}.
* κ — '''{{не переведено 5|размерность Кодаиры|||Kodaira dimension}}'''. Она равна <math>-\infty</math> (иногда пишут −1), если все плюрироды равны 0, в противном случае — наименьшее число (0, 1 или 2 для поверхностей), такое, что <math>P_n/n^{\kappa}</math> ограничено. Энриквес не использовал это определение, вместо этого он использовал значения <math>P_{12}</math> и <math>K.K = c_1^2</math>. Они определяют размерность Кодаиры, поскольку размерность Кодаиры <math>\kappa = -\infty</math> соответствует <math>P_{12} = 0</math>, <math>\kappa = 0</math> соответствует <math>P_{12} = 1</math>, <math>\kappa = 1</math> соответствует <math>P_{12} > 1</math>и <math>K.K = 0</math>, в то время как <math>\kappa = 2</math> соответствует <math>P_{12} > 1</math> и <math>K.K > 0</math>.
* <math>h^{i,j} = \mathrm{dim}\, H^j(X, \Omega^i)</math> (где <math>\Omega^i</math> — это пучок [[Голоморфная функция|голоморфных]] ''i''-форм) — это '''[[Теория Ходжа|числа Ходжа]]''', часто располагаемые в виде [[Гомологическая зеркальная симметрия#Ромб Ходжа|ромба Ходжа]]
{{Ромб Ходжа
|''h''<sup>0,0</sup>
}}
Согласно [[Двойственность Серра|двойственности Серра]] ''h<sup>i, j</sup>'' = ''h''<sup> 2−''i'',2−''j''</sup>, а ''h''<sup> 0,0</sup> = ''h''<sup> 2,2</sup> = 1. Если поверхность [[Кэлерово многообразие|кэлерова]], то ''h<sup>i, j</sup>'' = ''h<sup>j, i</sup>'', так что имеется только 3 независимых числа Ходжа.
Для компактных комплексных поверхностей ''h''<sup>1,0</sup> равно либо ''h''<sup>0,1</sup>, либо ''h''<sup>0,1</sup>    1. Первый плюрирод ''P''<sub>1</sub> равен числам Ходжа ''h''<sup>2,0</sup> = ''h''<sup>0,2</sup> и иногда называется геометрическим родом. Числа Ходжа комплексной поверхности зависит только от ориентированногокольца вещественногоориентированных кольцавещественных [[Гомология (математика)|когомологий]] поверхности и являются инвариантами по отношению к бирациональным преобразованийпреобразованиям, за исключением ''h''<sup>1,1</sup>, которое увеличивается на 1 при раздутии отдельной точки.
 
=== Связанные с числами Ходжами инварианты ===
Существует много инвариантов, которые (по меньшей мере для комплексных поверхностей) могут быть записаны в виде линейной комбинации чисел Ходжа, как ниже:
 
* <math>b_0,b_1,b_2,b_3,b_4</math> — являютсяэто '''[[Число Бетти|числамичисла Бетти]]''' — <math>b_i = dim(H_i(S)) </math>. <math>b_0 = b_4 = 1</math> и <math>b_1 = b_3 = h^{1,0} + h^{0,1} = h^{2,1} + h^{1,2}</math> и <math>b_2 = h^{2,0} + h^{1,1} + h^{0,2}</math>. ПриВ характеристике ''p''  >  0 числа Бетти (определяемые с помощью {{не переведено 5|ЭтальнаяЭтальные когомологиякогомологии|l-адичнойадических когомологиикогомологий||l-adic cohomology}}) не обязательно должнадолжны быть связаны таким образом с числами Ходжа.
* <math>e = b_0 - b_1 + b_2 - b_3 + b_4</math> — это '''[[эйлерова характеристика]]''' или '''число Эйлера'''.
* ''q'' — это '''{{не переведено 5|Иррегулярность поверхности|иррегулярность||irregularity of a surface}}''', размерность {{не переведено 5|Группа Пикара|группы Пикара||Picard variety}} и {{не переведено 5|многообразие Альбанезе|многообразия Альбанезе||Albanese variety}}, которые для комплексных поверхностей (но не всегда для поверхностиповерхностей св простойположительной характеристикойхарактеристике) равны ''h''<sup>0,1</sup>.
* <math>p_g = h^{0,2} = h^{2,0} = P_1</math> — это '''[[геометрический род]]'''.
* <math>p_a = p_g - q = h^{0,2} - h^{0,1}</math> — это '''{{не переведено 5|арифметический род|||arithmetic genus}}'''.
* <math>\chi = p_g - q + 1 = h^{0,2} - h^{0,1} + 1</math> — это '''{{не переведено 5|КогомологияКогомологии когерентногокогерентных пучкапучков|голоморфная эйлерова характеристика||holomorphic Euler characteristic}}''' тривиального расслоения. (Оно обычно отличается от числа Эйлера ''e'', описанного выше.) По {{не переведено 5|Формула Нётера|формуле Нётера||Noether's formula}} это число также равно {{не переведено 5|Род Тодда|роду Тодда||Todd genus}} (<math>\tfrac{c_1^2 + c_2}{12}</math>)
* <math>\tau</math> — это '''сигнатура''' (второй группы когомологий для комплексных поверхностей) и она равна <math>4\chi - e </math>, что равно <math>\sum\nolimits_{i,j}(-1)^j h^{i,j}</math>.
* <math>b^{+}</math> и <math>b^{-}</math> являются размерностями максимальных положительно и отрицательно определённых подпространств <math>H^2</math>, так что <math>b^{+} + b^{-} = b_2</math> и <math>b^{+} - b^{-} = \tau</math>.
* <math>c_2 = e</math> и <math>c_1^2 = K^2 = 12\chi - e</math> — это '''{{не переведено 5|Число Чженя|числа Чженя||Chern number}}''', определённые как интегралы различных многочленов вот {{не переведено 5|Класс Чжэня|классахклассов Чжэня||Chern class}} над многообразием.
 
Для комплексных поверхностяхповерхностей вышеперечисленные инварианты, определённые в терминах чисел Ходжа, зависят только от лежащего в основе ориентированного топологического многообразия.
 
=== Другие инварианты ===
Существуют другие инварианты компактных комплексных поверхностей, которые не используются столь активно в классификации. Сюда входят алгебраические инварианты, такие как '''{{не переведено 5|группа Пикара|||Picard group}}''' Pic(''X''), её фактор — '''{{не переведено 5|группа Нерона — Севери|||Néron–Severi group}}''' NS(''X'') с рангом {{не переведено 5|Группа Пикара|(число Пикара)||Picard number}} ρ, топологические инварианты, такие как '''[[фундаментальная группа]]''' <math>\pi_1</math> и группы интегральныхцелочисленных гомологий и когомологий, а также инварианты лежащих в основе гладких [[Четырёхмерная топология|4-мерныхчетырёхмерныхмерных многообразий]], такие как {{не переведено 5|Инвариант Зайберга — Виттена|инварианты Зайберга — Виттена||Seiberg–Witten invariant}} и {{не переведено 5|Инвариант Дональдсона|инварианты Дональдсона||Donaldson invariant}}.
 
== Минимальные модели и раздутие ==
Любая поверхность [[Бирациональная эквивалентность|бирационально эквивалентна]] несингулярнойнеособой поверхности, так что в большинстве случаев достаточно классифицировать несингулярныенеособые поверхности.
 
Если задана любая точка на поверхности, мы можем образовать новую поверхность путём [[Раздутие|раздутия]] этой точки, что, грубо говоря, означает, что мы заменяем точку проективной прямой. В данной статье несингулярнуюнеособую поверхность ''X'' будем называть '''минимальной''', если её нельзя получить из другой несингулярнойнеособой поверхности путём раздутия точки. По [[Теорема Кастельнуово о стягивании|теореме Кастельнуово о стягивании]] это эквивалентно высказываниютому свойству, что ''X'' не содержит (−1)-кривых (гладких рациональнызрациональных кривых с индексом самопересечения −1). (В более современной терминологии [[Программа минимальных моделей|программы минимальных моделей]] гладкая проективная поверхность ''X'' называется '''минимальной''', если её каноническое линейное расслоение ''K<sub>X</sub>'' является {{не переведено 5|Линейное неф-расслоение|неф-расслоением||nef line bundle}}. Гладкая проективная поверхность имеет минимальную модель в этом более строгом смысле тогда и только тогда, когда её размерность Кодаиры неотрицательна.)
 
Любая поверхность ''X'' бирационально эквивалентна минимальной несингулярнойнеособой поверхности и эта минимальная поверхность единственна, если размерность Кодаиры поверхности ''X'' не меньше 0 или поверхность не является алгебраической. Алгебраические поверхности с размерностью Кодаиры <math>-\infty</math> могут быть бирационально эквивалентны более одной минимальной несингулярнойнеособой поверхности, но легко описать связь этих минимальных поверхностей. Например, раздутая в точке поверхность <math>\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1</math> изоморфна <math>\mathbf{P}^2</math>, раздутой дважды. Так что для классификации всех компактных комплексных поверхностей с точностью до бирационального изоморфизма (более или менее) достаточно классифицировать минимальные несингулярныенеособые поверхности.
 
== Поверхности размерности Кодаиры −∞ ==
Алгебраические поверхности размерности Кодаиры <math>-\infty</math> можно классифицировать следующим образом.
Если ''q'' &gt; 0, то отображениеслои отображения в многообразие Альбанезе имеет расслоение наявляются проективныепроективными прямыепрямыми (если поверхность минимальна), так что поверхность является линейчатой. Если ''q'' = 0, этот аргумент не работает, так как многообразие Альбанезе является точкой, а в этом случае из [[Рациональная поверхность|теоремы Кастельнуово]] следует, что поверхность рациональна.
 
Для неалгебраических поверхностей Кодаира нашёл дополнительный класс поверхностей, называемый типом VII, который остаётся не вполне понятым.
 
=== Рациональные поверхности ===
[[Рациональная поверхность]] — означаетэто поверхность, бирационально эквивалентнуюэквивалентная [[Комплексная проективная плоскость|комплексной проективной плоскости]] '''P'''<sup>2</sup>. Все они являются алгебраическими. Минимальными рациональными поверхностями являются сами поверхности '''P'''<sup>2</sup> и поверхности Хирцебруха <math>\Sigma_n</math> для ''n'' = 0 или <math>n \geqslant 2</math>. (Поверхность Хирцебруха <math>\Sigma_n</math> является <math>\mathbf{P}^1</math> -расслоением над <math>\mathbf{P}^1</math>, связанным с пучком O(0)+O(n). Поверхность <math>\Sigma_0</math> изоморфна <math>\mathbf{P}^1\times \mathbf{P}^1</math>, а <math>\Sigma_1</math> изоморфна раздутию '''P'''<sup>2</sup> в точке, так что она не минимальна.)
 
'''Инварианты:''' Плюрироды все равны 0, фундаментальная группа тривиальна.
'''Примеры:''' '''P'''<sup>2</sup>, '''P'''<sup>1</sup>×'''P'''<sup>1</sup> = Σ<sub>0</sub>, поверхности Хирцебруха Σ<sub>n</sub>, [[Поверхность второго порядка|квадрики]], [[Кубическая поверхность|кубические поверхности]], {{не переведено 5|Поверхность дель Пеццо|поверхности дель Пеццо||del Pezzo surface}}, [[поверхность Веронезе]]. Многие из этих примеров не являются минимальными.
 
=== Линейчатые поверхности рода >  0 ===
Линейчатые поверхности рода ''g'' имеют гладкий морфизм в кривую рода ''g'', слоями которого являются прямые '''P'''<sup>1</sup>. Все эти поверхности являются алгебраическими.
(Поверхности рода 0 являются поверхностями Хирцебруха и они рациональны). Любая линейчатая поверхность бирационально эквивалентна <math>\mathbf{P}^1 \times C</math> для единственной кривой ''C'', так что классификация линейчатых поверхностей с точностью до бирациональной эквивалентности, по существу, та же самая, что и классификация кривых. Линейчатая поверхность, не изоморфная <math>\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1</math>, имеет единственную образующую (<math>\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1</math> имеет две).
 
=== Поверхности класса VII ===
{{Основная статья|Поверхность класса VII}}
Эти поверхности никогда не бывают алгебраическими или [[Кэлерово многообразие|кэлеровыми]]. МинимальнаяМинимальные поверхностьповерхности с ''b''<sub>2</sub>=0 классифицированаклассифицированы Богомоловым и являетсяявляются либо [[Поверхность Хопфа|поверхностьюповерхностями Хопфа]], либо [[Поверхность Иноуэ|поверхностьюповерхностями Иноуэ]]. Примеры с положительным вторым числом Бетти — {{не переведено 5|Поверхность Иноуэ — Хирцебруха|поверхности Иноуэ — Хирцебруха||Inoue-Hirzebruch surface}}, {{не переведено 5|Поверхность Еноки|поверхности Еноки||Enoki surface}} и, более общие, [[Поверхность Като|поверхности Като]]. Из {{не переведено 5|Гипотеза о глобальной сферической оболочке|гипотезы о глобальной сферической оболочке||global spherical shell conjecture}} следует, что все минимальные поверхности класса VII с положительным вторым числом Бетти являются поверхностями Като.
 
'''Инварианты:''' ''q''=1, ''h''<sup>1,0</sup> = 0. Все плюрироды равны 0.
 
== Поверхности размерности Кодаиры 0 ==
Эти поверхности классифицируются формулой Нётера <math>12\chi = c_2 + c_1^2</math>. Для размерности Кодаиры 0 ''K'' имеет нулевой {{не переведено 5|Теория пересечений|индекс самопересеченийсамопересечения||Self-intersection number}}, так что <math>c_1^2 = 0</math>. Используя выражения <math>\chi = h^{0,0} - h^{0,1} + h^{0,2}</math> и <math>c_2 = 2 - 2b_1 + b_2</math>, получимполучаем
 
: <math>10+12h^{0,2} = 8 h^{0,1} + 2 \left (2h^{0,1} - b_1 + b_2 \right )</math>
: <math>h^{0,2} = \begin{cases} 1 & K= 0 \\0 & K \ne 0 \end{cases}</math>
 
Комбинируя последнее выражение с предыдущим, получимполучаем
 
: <math>8 h^{0,1} + 2 \left (2h^{0,1} - b_1 + b_2 \right ) = \begin{cases} 10 & K= 0 \\22 & K \ne 0 \end{cases}</math>
 
=== Поверхности K3 ===
Эти поверхности являются минимальными компактными комплексными поверхнстямиповерхностями размерности Кодаиры 0 с ''q'' = 0 и тривиальным каноническим линейным расслоением. Все они [[Кэлерово многообразие|кэлеровы]]. Все K3 поверхности диффеоморфны и их класс диффеоморфизма является важным примером простогоодносвязного связногогладкого 4-многообразия ссо гладким спиномспин-структурой.
 
'''Инварианты:''' Вторая группа когомологий ''H''<sup>2</sup>(''X'', '''Z''') изоморфна единственной чётной [[Унимодулярная решётка|унимодулярной решётке]] II<sub>3,19</sub> размерности 22 с сигнатурой −16.
 
'''Примеры''':
* Гиперплоскости 4 степениКвартики в '''P'''<sup>3</sup>('''C''')
* {{не переведено 5|Поверхность Куммера|Поверхности Куммера||Kummer surface}}. Они получаются ''факторизацией'' абелевой поверхности автоморфизмом ''a'' → −''a'', затем [[раздутие]]м 16 сингулярныхособых точек.
 
'''Помеченная''' K3 поверхность — это K3 поверхность вместе с автоморфизмом из II<sub>3,19</sub> в ''H''<sup>2</sup>(''X'', '''Z'''). Пространство модулей помеченных K3 поверхностей является связным нехаусдорфовым гладким аналитическим пространством размерности 20. Алгебраические K3 поверхности образуют счётное множество 19-мерных подмногообразий этого пространства.
 
=== Абелевы поверхности и 2-мерныедвухмерные комплексные торы ===
Двухмерные [[Комплексный тор|комплексные торы]] включают {{не переведено 5|Абелева поверхность|абелевы поверхности||Abelian surface}}. Одномерные комплексные торы — это просто эллиптические кривые и все они являются алгебраическими, но Риман открыл, что большинство комплексных торов размерности 2 алгебраическими не являются. Алгебраические торы — это в точности 2-мерныедвухмерные [[Абелево многообразие|абелевы многообразия]].
Большая часть их теории является специальнымчастным случаем теории многомерных торов или абелевых многообразий. Критерий того, что многообразие является произведением двух эллиптических кривых (с точностью до [[Изогения|изогении]]), был популярной темой изучения в девятнадцатом веке.
 
'''Инварианты:''' Все плюрироды равны 1. Поверхность диффеоморфна <math>S^1 \times S^1 \times S^1 \times S^1</math>, так что фундаментальной группой служит '''Z'''<sup>4</sup>.
=== Поверхности Кодаиры ===
{{Основная статья|Поверхности Кодаиры}}
Поверхности никогда не являются алгебраическими, хотя имеют неконстантныенепостоянные мероморфные функции. Обычно они делятся на два подтипа: '''основные поверхности Кодаиры''' с тривиальным каноническим расслоением и '''вторичные поверхности Кодаиры''', являющиеся факторами первых по конечным группам порядка 2, 3, 4 или 6 и имеющие нетривиальные канонические расслоения. Вторичные поверхности Кодаиры имеют такое же отношение к основным, какое имеют поверхности Энриквеса к поверхностям K3, или биэллиптические поверхности имеют к абелевым поверхностям.
 
Инварианты: Если поверхность является фактором основной поверхности Кодаиры по группе порядка ''k''=1,2,3,4,6, то плюрироды ''P''<sub>n</sub> равны 1, если ''n'' делится на ''k'' и 0 в противном случае.
}}
 
'''Примеры:''' Возьмём нетривиальное линейное расслоение над эллиптической кривой, удалим нулевое сечение, затем находимнайдём фактор расслоенияслоёв по группе '''Z''', действующемудействующей как умножение на степени некоторого комплексного числа ''z''. В результате получим основную поверхность Кодаиры.
 
=== Поверхности Энриквеса ===
{{Основная статья|Поверхность Энриквеса}}
Это комплексные поверхности, такие,для чтокоторых ''q'' = 0 и у которых каноническое линейное расслоение нетривиально, но <math>P_2 \ne 0</math>. Поверхности ЭнрикесаЭнриквеса все являются алгебраическими (а потому [[Кэлерово многообразие|кэлеровыми]]). Они являются факторами поверхности K3 по группам порядка 2 и их теория подобна теории алгебраических K3-поверхностей.
 
'''Инварианты:''' Плюрироды ''P''<sub>n</sub> равны 1, если ''n'' чётно, и 0, если ''n'' нечётно. Фундаментальная группа имеет порядок 2. Вторая группа когомологий H<sup>2</sup>(''X'', '''Z''') изоморфна сумме единственной чётной [[Унимодулярная решётка|унимодулярной решётки]] II<sub>1,9</sub> размерности 10 с сигнатурой −8 и группы порядка 2.
}}
 
Помеченные поверхности ЭнрикесаЭнриквеса образуют связное 10-мерное семейство, которое описано явно.
 
Для характеристики 2 имеетсяимеются некоторые дополнительные семейства поверхностей ЭнрикесаЭнриквеса, которые называются сингулярными и суперсингулярными поверхностями ЭнрикесаЭнриквеса. СмДетали см. статьюв статье {{не переведено 5|Поверхность ЭнрикесаЭнриквеса|«Поверхности ЭнрикесаЭнриквеса»||Enriques surface}} для деталей.
 
=== Гиперэллиптические (или биэллиптические) поверхности ===
{{Основная статья|Гиперэллиптическая поверхность}}
Над полем комплексных чисел эти поверхности являются факторами произведения двух эллиптических кривых по конечной группе автоморфизмов. Конечной группой может служить '''Z'''/2'''Z''', '''Z'''/2'''Z'''+'''Z'''/2'''Z''', '''Z'''/3'''Z''', '''Z'''/3'''Z'''+'''Z'''/3'''Z''', '''Z'''/4'''Z''', '''Z'''/4'''Z'''+'''Z'''/2'''Z''' или '''Z'''/6'''Z''', что даёт 7 семейств таких поверхностей. Над полями характеристики 2 или 3 имеется несколько дополнительных семейств, получаемых как факторы по неэталевым схемамгрупповым группсхемам. СмДетали см. статьюв статье о [[Гиперэллиптическая поверхность|гиперэллиптических поверхностях]] для деталей.
 
'''Ромб Ходжа:'''
 
== Поверхности размерности Кодаиры 1 ==
{{не переведено 5|Эллиптическая поверхность|||elliptic surface}} является- поверхностьюэто поверхность, снабжённойснабжённая эллиптическим расслоением (сюрьективное голоморфное отображение в кривую ''B'', такое, что все, кроме конечного числа слоёв, являются гладкими неприводимыми кривыми рода 1). Слой общегонад общей видаточкой в таком расслоении является кривой рода 1 над полем функций на ''B''. Обратно, если дана кривая рода 1 над полем функций на кривой, её относительной минимальной моделью будет эллиптическая поверхность. Кодаира и другие дали вполнедостаточно полное описание всех эллиптических поверхностей. В частности, Кодаира дал {{не переведено 5|Эллиптическая поверхность|полный список возможных особых слоёв||Elliptic surface}}. Теория эллиптических поверхностей аналогична теории собственных регулярных моделей эллиптических кривых над [[Кольцо дискретного нормирования|кольцами дискретного нормирования]] (то есть кольцом [[p-адическое число|''p''-адических целых чисел]]) и [[Дедекиндово кольцо|дедекиндовых областей]] (то есть кольцом целых чисел числового поля).
 
Для конечных характеристик 2 и 3 можно получить '''квазиэллиптические''' поверхности, почти все слои которых могут быть рациональными кривыми с одним узлом, «вырожденными эллиптическими кривыми».
'''Пример:''' Если ''E'' — эллиптическая кривая и ''B'' является кривой рода по меньшей мере 2, то <math>E \times B</math> также является эллиптической поверхностью с размерностью Кодаиры 1.
 
== Поверхности размерности Кодаиры 2 (поверхности общего видатипа) ==
{{Основная статья|Поверхность общего типа}}
 
Все они являются алгебраическими и в некотором смысле большинство поверхностей находятся в этом классе. ГисекерГизекер показал, что существует {{не переведено 5|грубая схема модулямодулей|||coarse moduli scheme}} для поверхностей общего типа. Это значит, что для любых фиксированных значений чисел Чженя <math>c_1^2</math> и <math>c_2</math> существует квазипроективная схема, классификацииклассифицарующая поверхностейповерхности общего типа с этими числами Чженя. Однако задача явного описания этих схем очень сложна и имеется очень мало пар чисел Чженя, для которых это сделано (за исключением случаев, когда схема пуста!).
 
'''Инварианты:''' Существуют некоторые условия, которым должны удовлетворять числа Чженя минимальной комплексной поверхности общего типа:
* <math>c_1^2 > 0, c_2 > 0</math>
* <math>c_1^2 \leqslant 3c_2</math> ({{не переведено 5|Неравенство[[неравенство Богомолова-Миаоки-Яу|||Bogomolov–Miyaoka–Yau inequality}}]])
* <math>5c_1^2 - c_2 + 36 \geqslant 0</math> (неравенство Нётера)
* <math>c_1^2 + c_2</math> делится на 12.
Большинство пар целых чисел, удовлетворяющих этим условиям, являются числами Чженя для некоторой комплексной поверхности общего типа.
 
'''Примеры:''' Простейшие примеры — это произведение двух кривых рода по меньшей мере 2 и гиперповерхности степени по меньшей мере 5 в ''P''<sup>3</sup>. Известно большое число других построенийконструкций. Однако не известноизвестна построениеконструкция, котороекоторая даёт «типичную» поверхность общего типа для больших чисел Чженя. Фактически даже не известно, существует ли приемлемое понятие «типичной» поверхности общего типа. Найдено много других примеров, включая большинство {{не переведено 5|Модулярная поверхность Гильберта|модулярных поверхностей Гильберта||Hilbert modular surface}}, [[Ложная проективная плоскость|ложные проективные плоскости]], {{не переведено 5|Поверхность Барлоу|поверхности Барлоу||Barlow surface}} и так далее.
 
== Примечания ==
}}
{{refend}}
 
{{rq|checktranslate|style}}
 
[[Категория:Комплексные поверхности]]