Связное пространство: различия между версиями

м
подстановка даты в шаблон:Нет источника
м (подстановка даты в шаблон:Нет источника)
Топологическое пространство называется ''несвязным'', если его можно представить в виде [[объединение множеств|объединения]] двух непустых непересекающихся [[Замкнутое множество|замкнутых]] подмножеств.
 
Не пустое топологическое пространство, которое не является ''несвязным'' называется ''связным''.
 
Подмножество топологического пространства называется ''связным'', если оно вместе со своей [[Индуцированная топология|индуцированной топологией]] образует связное пространство.
 
=== Замечания ===
* Заметьте, что по определению, пустое пространство не считается связным.
 
=== Эквивалентные определения ===
* Если существует [[база топологии]] пространства <math>X</math>, состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства <math>X</math> и само пространство <math>X</math> (в этой топологии) называются ''[[Локально связное пространство|локально связными]]''.
* Связное [[компактное пространство|компактное]] [[хаусдорфово пространство]] называется ''континуумом''.
* Пространство <math>X</math>, для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> которого существуют открытые непересекающиеся множества <math>U \ni x</math> и <math>V \ni y</math> такие, что <math>X = U \cup V</math>, называется ''вполне раздельным''.{{источникНет АИ|23|2|2018}} Очевидно, что любое вполне раздельное пространство вполне несвязно, однако обратное неверно. Рассмотрим множество, состоящее из двух копий множества <math>\mathbb{Q}</math>. Введём отношение эквивалентности по правилу <math>q \sim p \Leftrightarrow q = p,\; q \neq 0,\; p \neq 0</math> и построим фактор-пространство с фактор-топологией по этому отношению. Это пространство будет вполне несвязным, однако для двух (по определению топологически различных) копий нуля не найдётся двух открытых множеств, удовлетворяющих определению вполне раздельного пространства.
 
== Свойства ==
* Пусть <math>\{A_{\alpha}\}</math> — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством <math>A</math>. Тогда множество
*:<math>A \cup \left(\bigcup_{\alpha} A_{\alpha}\right)</math>
: тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)
* [[Произведение топологических пространств|Произведение]] связных пространств связно. Если хоть один из множителей несвязен, произведение будет несвязным.
* Каждая компонента пространства <math>X</math> является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства <math>X</math> не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества <math>A</math> пространства <math>X</math> — это максимальные связные подмножества множества <math>A</math>.
* [[Односвязное пространство]]
* [[Экстремально несвязное пространство]]
 
 
[[Категория:Общая топология]]