Прямое произведение: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Coobit (обсуждение | вклад) →Воздействие на математические структуры: Добавлен пример произведения векторных пространств |
Coobit (обсуждение | вклад) Добавлено несколько поясняющих строк к понятию "упорядоченная пара" |
||
Строка 1:
'''Прямое''' или '''декартово произведение''' двух множеств — это [[множество]], [[Элемент множества|элементами]] которого являются все возможные [[упорядоченная пара|упорядоченные пары]] элементов исходных множеств.
Понятие прямого произведения естественно обобщается на произведение множеств с дополнительной структурой ([[алгебра|алгебраической]], [[топология|топологической]] и т. д.), поскольку произведение множеств часто наследует структуры, имевшиеся на исходных множествах.
== Прямое произведение в теории множеств ==
Строка 45:
! colspan=8 |Произведение множества {в, и, к}<br />на множество цветов радуги
|}
Пусть даны два [[множество|множества]] <math>X</math> и <math>Y</math>. Прямое произведение множества <math>X</math> и множества <math>Y</math> есть такое множество <math>X \times Y</math>, элементами которого являются упорядоченные пары <math>(x,y)</math> для всевозможных <math>x\in X</math> и <math>y\in Y</math>. Упорядоченную пару, образованную из элементов a и b, принято записывать, используя круглые скобки: (a; b). Элемент a называют '''первой координатой (компонентой) пары''', а элемент b – '''второй координатой (компонентой) пары.'''
Слово «упорядоченная» пара значит, что <math>(x,y) \neq (y,x) </math>. Так, пары <math>(a,b)</math> и <math>(c,d)</math> равны в том и только том случае, когда <math>a=c</math> и <math>b=d</math>.
Важность «порядка» можно показать на примере обычной записи чисел: ''используя две цифры 3 и 5, можно записать четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов.''
В упорядоченной паре <math>(a,b)</math> может быть, что <math>a=b</math>. Так, запись чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5).
[[отображение|Отображения]] произведения множеств в его множители — <math>\varphi\colon X\times Y\to X,\; \varphi(x,y)=x</math> и <math>\psi\colon X\times Y\to Y,\; \psi(x,y)=y</math> — называют ''координатными функциями''.
| |||