Критическая точка (математика): различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
Строка 11:
== Формальное определение ==
'''Критической''' (или '''особой''' или '''стационарной''') точкой непрерывно дифференцируемого отображения <math>f: \R^n\to\R^m</math> называется такая точка <math>x_0 \in \R^n</math>, в которой [[Дифференциал (математика)|дифференциал]] этого отображения <math>f_*=\frac{\partial f}{\partial x}</math> является '''вырожденным''' линейным преобразованием соответствующих касательных пространств в точках <math>x_0</math> и <math>f(x_0)</math>, то есть [[Векторное пространство|размерность]] [[Функция (математика)|образа]] <math>f_*</math> меньше <math>\min \{n,m\}</math><ref>''Зорич В. А.'' Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII, пар. 4.</ref>. В координатной записи при <math>n = m</math> это означает что [[якобиан]] — определитель [[матрица Якоби|матрицы Якоби]] отображения <math>f</math>, составленной из всех частных производных <math>\frac{\partial f_j}{\partial x_i}</math> — в точке <math>f(x_0)</math> обращается в нуль<ref>''Зорич В. А.'' Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII, пар. 4.</ref>. Пространства <math>\R^n</math> и <math>\R^m</math> в этом определении могут быть заменены на [[Многообразие|многообразия]] <math>N^n</math> и <math>M^m</math> таких же размерностей.
== Случай ''m'' = 1 ==
Строка 24 ⟶ 18 :
Критическая точка функции <math>f: \R^n\to\R</math> называется '''невырожденной''', если в ней [[Гессиан функции|гессиан]] <math>\Bigl|\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\Bigr|</math> отличен от нуля. Если <math>f</math> имеет класс гладкости не ниже <math>C^3</math>, то в окрестности невырожденной критической точки существуют координаты, в которых функция <math>f(x)</math> имеет квадратичную нормальную форму ([[лемма Морса]]).
При <math>m=1</math> имеет смысл вопрос о максимуме и минимуме функции. Согласно известному утверждению математического анализа, непрерывно дифференцируемая функция <math>f</math>, определенная во всем пространстве <math>\R^n</math> или в его открытом подмножестве, может достигать локального максимума (минимума) только в критических точках, причем если точка невырождена, то матрица <math>\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\Bigr)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\Bigr),</math> <math>i,j=1,\ldots,n,</math> в ней должна быть отрицательно (положительно) [[Положительно определённая матрица|определённой]]. Последнее является также достаточным условием локального максимума (соответственно, минимума)<ref>''Зорич В. А.'' Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII.</ref>.
== Случай постоянного ранга ==
|