Плоская кривая четвёртой степени: различия между версиями

стилевые правки, уточнения, убрал шаблон
(стилевые правки, уточнения, убрал шаблон)
}}
 
где по меньшей мере одно значениеиз чисел ''A, B, C, D, E'' не равно нулю. Это уравнение имеет 15 констант. Однако уравнение можно умножить на любую ненулевую константу без изменения кривой. Таким образом, путём подходящего выбора константы умножения, любой коэффициент можно установитьсделать вравным 1, оставляя лишь 14 констант. Таким образом, пространство квартик можно отождествить с {{не переведено 5|Вещественное проективное пространство|вещественным проективным пространством||real projective space}} <math>\mathbb{RP}^{14}</math>. Отсюда также следует по {{не переведено 5|Теорема Крамера (алгебраичаские кривые)|теореме Крамера нао алгебраических кривых||Cramer's theorem (algebraic curves)}}, что существует в точности одна квадрикаквартика, проходящая через множество из 14 различных точек в [[Общее положение|общемобщего положенииположения]], поскольку квадрикаквартика имеет 14 [[Степени свободы (физика)|степеней свободы]].
 
КвадрикаКвартика может иметь максимум
* четыре связные компоненты
* двадцать четыре {{не переведено 5|Бикасательная|бикасательные||bitangent}}
* три простыеобыкновенные [[Особая точка кривой#Двойные точки|двойные точки]].
 
Можно рассматривать кривые четвёртой степени над другими [[Поле (алгебра)|полями]] (или даже [[Кольцо (математика)|кольцами]]), например, над [[Комплексное число|комплексными числами]]. В последнем случае получают [[Риманова поверхность|римановы поверхности]], котораякоторые являетсяявляются одномернымодномерными объектомобъектами над '''C''', но двумернымдвумерными над '''R'''. Примером является {{не переведено 5|квартика Клейна|||Klein quartic}}. Кроме того, можно рассматривать кривые в [[Проективная плоскость|проективной плоскости]], задаваемойзадаваемые однородными многочленами.
 
== Примеры ==
Различные комбинации коэффициентов в уравнении выше дают различные важные семейства кривых, перечисленныхперечисленные ниже.
{{столбцы |width=35em}}
{{столбец}}
**{{не переведено 5|Специальная квартика Ламэ|||Lamé's special quartic}}
*{{не переведено 5|Торическое сечение|||Toric section}}
*[[ Бикасательные плоской кривой четвёртой степени|Кривая Тротта]]
{{столбцы/конец}}
 
===Амперсанд (кривая) ===
'''Кривая-амперсанд''' — это планарнаяплоская кривая четвёртой степени с уравнением
:<math>\ (y^2-x^2)(x-1)(2x-3)=4(x^2+y^2-2x)^2.</math>
Кривая имеет [[Род (математика)|род]] нуль с тремя обычнымиобыкновенными двойными точками на вещественной плоскости.<ref>{{MathWorld|title=Ampersand Curve|urlname=AmpersandCurve}}</ref>
 
=== Боб (кривая)===
'''Кривая-боб''' — это плоская кривая четвёртой степени с уравнением
:<math>x^4+x^2y^2+y^4=x(x^2+y^2). \,</math>
Боб имеет род нуль. Кривая имеет одну [[Особенность|сингулярностьособенность]] в начале координат, обычнуюобыкновенную тройную точку{{sfn|Cundy, Rollett|1961|с=72}}.
<ref> {{MathWorld|title=Bean Curve|urlname=BeanCurve}} </ref>
 
:<math>(x^2-a^2)(x-a)^2+(y^2-a^2)^2=0 \,</math>,
где ''a'' определяет размер кривой.
Двукаспидная кривая имеет только две угловыеузловые точки в качестве сингулярностей, а потому является кривой рода один<ref>{{MathWorld|title=Bicuspid Curve|urlname=BicuspidCurve}}</ref>.
 
=== Бант (кривая) ===
'''Крестообразная кривая''' или '''кривая-крест''' — это плоская кривая четвёртой степени, задаваемая уравнением
:<math>x^2y^2-b^2x^2-a^2y^2=0 \,</math>,
где ''a'' и ''b'' — два [[параметр]]а, определяющихопределяющие форму кривой.
Крестообразная кривая связана стандартным квадратичным преобразованием ''x'' ↦ 1/''x'', ''y'' ↦ 1/''y'' с эллипсом <math>a^2x^2 + b^2y^2 = 1</math>, а потому является [[Алгебраическая кривая#Рациональные кривые|рациональной плоской алгебраической кривой]] рода нуль. Крестообразная кривая имеет три двойные точки на [[Вещественная проективная плоскость|вещественной проективной плоскости]] в точках ''x''=0 и ''y''=0, ''x''=0 и ''z''=0, ''y''=0 и ''z''=0.<ref>{{MathWorld|title=Cruciform curve|urlname=Cruciform}}</ref>
 
Поскольку кривая является рациональной, она может быть параметризована рациональными функциями. Например, если ''a''=1 и ''b''=2, то уравнения
:<math>x = -\frac{t^2-2t+5}{t^2-2t-3},\quad y = \frac{t^2-2t+5}{2t-2}</math>
параметризуетзадают точкипараметризацию точек на кривой, внекроме исключительных случаев, гдекогда знаменатель обращается в нуль.
 
=== Спирическое сечение ===
{{main|Кривая Персея }}
СпирическиеСпирическое сечениясечение можно определить как {{не переведено 5|Круговая алгебраическая кривая|бициркулярную||Circular algebraic curve}} кривую четвёртой степени, симметричныесимметричную относительно осей ''x'' и ''y''. Спирические сечения входят в семейство {{не переведено 5|Торическое сечение|торических сечений||Toric section}} и содержат семейство [[Лемниската Бута|лемнискат Бута]] и семейство [[Овал Кассини|овалов Кассини]]. Название происходит от греческого слова σπειρα, означающего тор.
 
В декартовых координатах уравнение можно записать
x^4+2x^2y^2+y^4-x^3+3xy^2=0. \,
</math>
Разрешив уравнение поотносительно ''y'', получим следующую функцию
:<math>y=\pm\sqrt{\frac{-2x^2-3x\pm\sqrt{16x^3+9x^2}}{2}},</math>
где два знака <math>\pm</math> не зависят друг от друга, что даёт до четырёх различных значений ''y'' для каждого ''x''.
:<math>r = \cos(3\varphi). \,</math>
Кривая является частным случаем [[Роза (плоская кривая)|розы]] с ''k'' =&nbsp;3.
ЭтакЭта кривая имеет тройную точку в начале координат (0,&nbsp;0) и имеет три двойныхдвойные касательныхкасательные.
 
==Примечания==
 
[[Категория:Алгебраические кривые]]
{{rq|checktranslate|style}}