Гипотеза Нагаты о кривых: различия между версиями

стилевые правки, уточнения, убрал шаблон
(стилевые правки, уточнения, убрал шаблон)
'''Гипотеза Нагаты о кривых''', названная именем [[Нагата, Масаёси|Масаёси Нагаты]], определяет минимальную степень, которую должна иметь [[Алгебраическая кривая|плоская алгебраическая кривая]], чтобы она проходила через набор точек общего вида с предписаннойпредписанными {{не переведено 5|Кратность (математика)|кратностьюкратностями||Multiplicity (mathematics)}}. Нагата пришёл к гипотезе во время работы над [[Проблемы Гильберта|14-ой проблемой Гильберта]], которая спрашивает, является ли действие кольцакольцо инвариантов для действия линейной группы на полиномиальное кольцо многочленов {{math|''k''[''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'']}} над некоторым полем {{mvar|k}} {{не переведено 5|Конечно генерируемаяКонечнопорождённая группа|конечно генерируемойконечнопорождённым||Finitely generated group}}. Нагата опубликовал гипотезу в статье 1959 года в журнале [[American Journal of Mathematics]], в которой он привёл контрпример к 14-й гипотезыгипотезе Гильберта.
 
: '''Гипотеза Нагаты.''' Предположим, что {{math|''p''<sub>1</sub>, ..., ''p<sub>r</sub>''}} являются [[Общее положение|точками в общем положении]] на [[Проективная плоскость|{{math|'''P'''<sup>2</sup>}}]] и что {{math|''m''<sub>1</sub>, ..., ''m<sub>r</sub>''}} — заданные положительные целые числа. Тогда для {{math|''r'' > 9}} любая кривая {{mvar|C}} в {{math|'''P'''<sup>2</sup>}}, которая проходит через каждую точку {{math|''p<sub>i</sub>''}} с кратностью {{math|''m<sub>i</sub>''}} должна удовлетворять неравенству
::<math>\deg C > \frac{1}{\sqrt{r}}\sum_{i=1}^r m_i.</math>
 
Единственный известный случай, когдадля которого известно, что это неравенство выполняется, это когда {{mvar|r}} является полным квадратом, что доказал [[Нагата, Масаёси|Нагата]]. Несмотря на большой интерес, остальные случаи остаются открытыми. Более современная формулировка гипотезы часто даётся в терминах {{не переведено 5|Константа ШешадриСешадри|констант ШешадриСешадри||Seshadri constant}} и обобщена на другие поверхности (под названием {{не переведено 5|Гипотеза Нагаты — Бирана|гипотезы Нагаты — Бирана||Nagata–Biran conjecture}}).
 
Условие {{math|''r'' > 9}}, как легко видеть, является необходимым. В зависимости оот того, {{math|''r'' > 9}} или {{math|''r'' ≤ 9}}, {{не переведено 5|Каноническое расслоение|антиканоническое расслоение||canonical bundle}} на [[Раздутие|раздутии]] {{math|'''P'''<sup>2</sup>}} на наборе изв {{mvar|r}} точекточках будет [[Линейное неф-расслоение|неф-расслоением]] или нет.
 
== Примечания ==
{{примечания|2}}
 
== Литература ==
[[Категория:Математические гипотезы]]
[[Категория:Алгебраические кривые]]
{{rq|checktranslate|style}}