Парадокс Крамера: различия между версиями

33 байта убрано ,  2 года назад
стилевые правки, уточнения, убрал шаблон
(стилевые правки, уточнения, убрал шаблон)
 
[[Файл:Two cubic curves.png|thumb|Кубические кривые, пересекающиеся в 9 точках]]
'''Парадокс Крамера''' или '''парадокс Эйлера — Крамера'''<ref name=Weisstein>Weisstein, Eric W. "Cramér-Euler Paradox." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cramer-EulerParadox.html</ref> — это утверждение, что число точек пересечения двух кривых высокого порядка на [[Плоскость|плоскости]] может быть вышебольше числа произвольных точек, которые обычно нужны для однозначного определения каждой такой кривой. Парадокс назван именем математика из [[Женева (кантон)|Женевы]] [[Крамер, Габриэль|Габриэля Крамера]].
 
Парадокс является результатом наивного понимания двух теорем:
 
== История ==
Парадокс первым опубликовал [[Маклорен, Колин|Маклорен]]{{sfn|Maclaurin|1720}}{{sfn|Tweedie|1891|с=87–150}}. Крамер и [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] переписывались по поводу парадокса в письмах в 1744—1745 годах и Эйлер объяснил проблему Крамеру{{sfn|Struik|1969|с=182}}. Проблема стала называться ''парадоксом Крамера'' после публикации в 1750 году в книге Крамера ''Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques'', хотя Крамер и указал на Маклорена как источник утверждения{{sfn|Tweedie|1915|с=133–151}}. Примерно в то же самое время Эйлер опубликовал примеры, показывающие, кубическуючто кривую,кубическая кривая котораяможет не определяетсяопределяться однозначно 9 точками{{sfn|Struik|1969|с=182}}{{sfn|Euler|1750|с=219-233}} и обсудил проблему в своей книге {{не переведено 5|Introductio in analysin infinitorum|||Introductio in analysin infinitorum}}. Результат был обнародован [[Стирлинг, Джеймс|Джеймсом Стирлингом]], а объяснение дал [[Плюккер, Юлиус|Юлиус Плюккер]]<ref name=Weisstein/>.
 
Парадокс первым опубликовал [[Маклорен, Колин|Маклорен]]{{sfn|Maclaurin|1720}}{{sfn|Tweedie|1891|с=87–150}}. Крамер и [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] переписывались по поводу парадокса в письмах в 1744—1745 годах и Эйлер объяснил проблему Крамеру{{sfn|Struik|1969|с=182}}. Проблема стала называться ''парадоксом Крамера'' после публикации в 1750 в книге Крамера ''Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques'', хотя Крамер и указал на Маклорена как источник утверждения{{sfn|Tweedie|1915|с=133–151}}. Примерно в то же самое время Эйлер опубликовал примеры, показывающие кубическую кривую, которая не определяется однозначно 9 точками{{sfn|Struik|1969|с=182}}{{sfn|Euler|1750|с=219-233}} и обсудил проблему в своей книге {{не переведено 5|Introductio in analysin infinitorum|||Introductio in analysin infinitorum}}. Результат был обнародован [[Стирлинг, Джеймс|Джеймсом Стирлингом]], а объяснение дал [[Плюккер, Юлиус|Юлиус Плюккер]]<ref name=Weisstein/>.
 
==Никакого парадокса для прямых и невырожденных конических сечений ==
 
Для кривых первого порядка (то есть [[Прямая|прямых]]) парадокс не проявляется, поскольку ''n'' = 1, так что ''n''<sup>2</sup> = 1 < ''n''(''n'' + 3) / 2 = 2. В общем случае две различные прямые ''L''<sub>1</sub> и ''L''<sub>2</sub> пересекаются в одной точке ''P'', если только прямые не имеют одинаковый наклон, и в этом случае прямые не пересекаются вообще. Одна точка недостаточна для однозначного определения прямой (нужны две). Через точку ''P'' проходят не две, а бесконечно много прямых.
 
Аналогично, два невырожденных конических сечения пересекаются максимум в 4 конечных точках, а для однозначного определения невырожденной кривой нужно 5 точек.
 
== Пример Крамера для кубических кривых ==
В письме Эйлеру Крамер указал, что кубические кривые <math>x^3 - x = 0</math> andи <math>y^3 - y = 0</math> пересекаются ровно в 9 точках (каждое уравнение представляет набор трёх параллельных прямых <math>x = -1, x = 0, x = +1</math> и <math>y = -1, y = 0, y = +1</math> соответственно). Получается, что эти 9 точек не достаточны для однозначного определения кубической кривой, так что, по меньшей мере в вырожденном случае, утверждение имеет место.
 
==Примечания==
[[Категория:Математические парадоксы]]
[[Категория:Алгебраические кривые]]
{{rq|checktranslate|style}}