Закон сохранения импульса: различия между версиями

Рассмотрим систему нескольких соударяющихся упругим образом ([[Абсолютно упругий удар|без превращения части механической энергии в другие формы]]) частиц с массами <math>m_{i}</math> и скоростями <math>u_{i}</math> до столкновений и <math>U_{i}</math> после столкновений. Закон сохранения энергии имеет вид

: <math>\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}u_{i}^{2}=\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}U_{i}^{2}.</math>.
Перейдём в систему отсчёта, равномерно и прямолинейно движущуюся со скоростью <math>v</math>. Скорости частиц с точки зрения этой системы отсчёта будут <math>u_{i} - v</math> до столкновений и <math>U_{i} - v</math> после столкновений. Закон сохранения энергии с точки зрения этой системы имеет вид

: <math>\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}{(u_{i} - v)}^{2}=\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}{(U_{i} - v)}^{2},</math>, или

: <math>\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}{(u_{i}^{2} - 2vu_{i}+{v}^{2})}=\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}{(U_{i}^{2} - 2vU_{i}+{v}^{2})}.</math>,
Следовательно <math>\sum_{i} m_{i} v u_{i} = \sum_{i} m_{i} v U_{i}</math>, откуда следует <math>v \sum_{i} m_{i} u_{i} = v \sum_{i} m_{i} U_{i}</math>. Поскольку скорость <math>v</math> произвольна, то последнее равенство будет справедливым только в случае выполнения закона сохранения импульса <math>\sum_{i} m_{i} u_{i} = \sum_{i} m_{i} U_{i}</math>{{sfn|Кузнецов|с=135|1958}}.

Рассмотрим [[функция Лагранжа|функцию Лагранжа]] свободного тела <math>\mathcal L \equiv \mathcal L(q_i, \dot q_i, t),</math> зависящую от обобщённых координат <math>q_i\,,</math> обобщённых скоростей <math>\dot q_i</math> и времени ''<math>t''</math>. Здесь точка над ''<math>q''</math> обозначает дифференцирование по времени, <math>\dot q_i \equiv \frac{\partial q_i}{\partial t}.</math> Выберем для рассмотрения прямоугольную [[декартова система координат|декартову систему координат]], тогда <math>q_i=\vec r_a, \ \dot q_i = \vec v_a</math> для каждой <math>a</math>-той частицы. Используя однородность пространства, мы можем дать всем радиус-векторам частиц одинаковое приращение, которое не будет влиять на уравнения движения: <math>\vec r_a \to \vec r_a + \vec{\xi}, </math> где <math>\vec{\xi} \equiv \overrightarrow {\mathrm{const}}.</math> В случае постоянства скорости функция Лагранжа изменится следующим образом:

Воспользуемся [[УравнениеУравнения Лагранжа второго рода|уравнением Лагранжа]] <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}=0:</math>

Закон сохранения импульса выполняется и в теории относительности. Отличие от классической механики состоит лишь в том, что в теории относительности зависимость импульса от
скорости имеет вид

: <math>p=\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.</math>{{sfn|Фейнман|с=193|2004}}{{sfn|Широков|с=276|1972}}.