Википедия

Спектральная последовательность: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
орфография
Строка 2:
 
== Формальное определение ==
Зафиксируем [[Абелева категория|абелеву категорию]], такую как категория [[Модуль над кольцом|модулей]] над [[Кольцо (математика)|кольцом]]. ''Спектральная последовательность'' состоит из выбранного неотрицательного целого числа ''r''<sub>0</sub> и набора из трёх последовательногстейпоследовательностей:
# Для всех целых чисел ''r'' ≥ ''r''<sub>0</sub>, объектов ''E<sub>r</sub>'' , называемых листами,
# Эндоморфизмов ''d<sub>r</sub>'' : ''E<sub>r</sub>'' → ''E<sub>r</sub>'', удовлетворяющих ''d<sub>r</sub>'' <small>o</small> ''d<sub>r</sub>'' = 0, называемых граничными отображениями или дифференциалами,
Строка 18:
В неградуированной ситуации, описанной выше, ''r''<sub>0</sub> не играет роли, но на практике большинство спектральных последовательностей возникает в категории дважды градуированных модулей над кольцом ''R'' (или дважды градуированных [[Пучок модулей|пучков модулей]] над пучком колец). В этом случае каждый лист является дважды градуированным модулем и раскладывается в прямую сумму членов с одним членом для каждой пары степеней. Граничное отображение определяется как прямая сумма граничных отображений на каждом члене листа. Их степень зависит от ''r'' и фиксируется соглашением. В случае гомологической спектральной последовательности члены обозначают <math>E^r_{p,q}</math> и дифференциалы имеют бистепень (− ''r'',''r'' − 1). В случае когомологической спектральной последовательности члены обозначают <math>E^{p,q}_r</math> и дифференциалы имеют бистепень (''r'', 1 − ''r''). (Эти выборы степеней естественно возникают на практике; см. пример с двойным комплексом ниже.) В зависимости от спектральной последовательности, граничное отображение на первом листе имеет бистепень, соответствующую ''r'' = 0, ''r'' = 1 или ''r'' = 2. Например, для спектральной последовательности фильтрованного комплекса, описанной ниже, ''r''<sub>0</sub> = 0, но для [[Спектральная последовательность Гротендика|спектральной последовательности Гротендика]] ''r''<sub>0</sub> = 2.
 
Пусть ''E''<sub>''r''</sub> — спетральнаяспектральная последовательность, начинающаяся, например, с ''r'' = 0. Тогда существует почледовательностьпоследовательность подобъектов
: <math>0 = B_0 \subset B_1 \subset B_{2} \subset \dots \subset B_r \subset \dots \subset Z_r \subset \dots \subset Z_2 \subset Z_1 \subset Z_0 = E_0,</math>
таких, что <math>E_r \simeq Z_{r-1}/B_{r-1}</math>; действительно, мы полагаем <math>Z_0 = E_0, B_0 = 0</math> и определяем <math>Z_r, B_r</math> таким образом, что <math>Z_r/B_{r-1}, B_r/B_{r-1}</math> — это ядро и образ <math>E_r \overset{d_r}\to E_r.</math>
Строка 27:
 
== Визуализация ==
[[Файл:SpectralSequence.png|frame|Лист E<sub>2</sub> когмологическойкогомологической спектральной последовательности]]
Дважды градуированная спектральная последовательность содержит большое количество данных, но существует способ визуализации, который делает структуру спектральной последовательности более понятной. Мы имеем три индекса, ''r'', ''p'' и ''q''. Представим, что для каждого ''r'' у нас есть лист разграфленной бумаги. На этом листе пусть ''p'' увеличивается в горизонтальном направлении, а ''q'' — в вертикальном. В каждой точке решётки мы имеем объект <math>E_r^{p,q}</math>.
 
Строка 35:
 
=== Спектральная последовательность фильтрованного комплекса ===
Многие спетральныеспектральные последовательности происходят из фильтрованных коцепных комплексов. Это коцепной комплекс ''C<sup>•</sup>'' со множеством подкомплексов ''F<sup>p</sup>C<sup>•</sup>'', где ''p'' — произвольное целое число. (На практике, ''p'' обычно ограничено с одной стороны.) Требуется, чтобы граничное отображение было согласовано с этой фильтрацией; то есть чтобы выполнялось ''d''(''F<sup>p</sup>C<sup>n</sup>'') ⊆ ''F<sup>p</sup>C<sup>n+1</sup>''. Мы считаем фильтрацию убывающей, то есть ''F<sup>p</sup>C<sup>•</sup>'' ⊇ ''F<sup>p+1</sup>C<sup>•</sup>''. Мы будем нумеровать члены коцепного комплекса индексом ''n''. Позднее, мы будем также предполагать, что фильтрация хаусдорфова или отделима, то есть пересечение всех ''F<sup>p</sup>C<sup>•</sup>'' нулевое, и что фильтрация исчерпывающая, то есть объединение всех ''F<sup>p</sup>C<sup>•</sup>'' — это весь коцепной комплекс ''C<sup>•</sup>''.
 
Фильтрация полезна, потому что она даёт меру близости к нулю: когда ''p'' увеличивается, ''F<sup>p</sup>C<sup>•</sup>'' становится ближе к нулю. Мы построим спектральную последовательность из этой фильтрации, в которой кограницы и коциклы в последующих листах становятся ближе и ближе к кограницам и коциклам исходного комплекса. Эта спетральнаяспектральная последовательность будет дважды градуирована фильтрационной степенью ''p'' и дополнительной степенью {{nobr|''q'' = ''n'' − ''p''}}. (Дополнительная степень часто является более удобным индексом, чем ''n''. Например, это так для спектральной последовательности двойного комплекса. описанной ниже.)
 
Мы построим эту спектральную последовательность вручную. ''C<sup>•</sup>'' имеет только олднуодну градуировку и фильтрацию, так что мы сначала построим дважды градуированный объект из ''C<sup>•</sup>''. Чтобы получить вторую градуировку, мы перейдём к ассоциированному градуированному объекту относительно фильтрации. Мы будем обозначать его необычным образом, что будет оправдано на шаге ''E<sub>1</sub>'':
 
: <math>Z_{-1}^{p,q} = Z_0^{p,q} = F^p C^{p+q}</math>
Строка 62:
: <math>E_1^{p,q} = \frac{Z_1^{p,q}}{B_1^{p,q} + Z_0^{p+1,q-1}}.</math>
 
<math>Z_1^{p,q}</math> — это в точности то, что дифференциал перемещает на один уровень вверх по фильтрации, и <math>B_1^{p,q}</math> — это в точности образ того, что дифференциал перемещает на ноль уровней вверх по фильтрации. Это подсказывает, что мы должны определить <math>Z_r^{p,q}</math> как то, что дифференциал перемещает на ''r'' уровней вверх по фильтрации и <math>B_r^{p,q}</math> — как образ того, что дифференциал перемещает на ''r-1'' уровней вверх по фильтрации. Другими словами, спетральнаяспектральная последовательность должна удовлетворять
 
: <math>Z_r^{p,q} = \ker d_0^{p,q} : F^p C^{p+q} \rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r} C^{p+q+1}</math>
Строка 78:
определяется как ограничение исходного дифференциала ''d'' с <math>C^{p+q}</math> на подобъект <math>Z_r^{p,q}</math>.
 
Нетрудно проверить, что гомологии ''E<sub>r</sub>'' относительно этого дифференциала — это ''E<sub>r+1</sub>'', так что мы получаем спектральную последовательность. КсК ожалениюсожалению, дифференциал описан не очень явно. Нахождение дифференциалов или способов обойтись без них — это одна из главных проблем, стоящих на пути успешного применения спектральной последовательности.
 
=== Спектральная последовательность двойного комплекса ===
Другая часто встречащаясявстречающаяся спетральнаяспектральная последовательность — это спетральнаяспектральная последовательность двойного комплекса. Двойной комплекс — это набор объектов ''C<sub>i, j</sub>'' для всех целых ''i'' и ''j'', вместе с двумя дифференциалами, ''d <sup>I</sup>'' и ''d <sup>II</sup>''. По соглашению, ''d <sup>I</sup>'' уменьшает ''i'' и ''d <sup>II</sup>'' уменьшает ''j''. Более того, мы преполагаемпредполагаем, что эти два дифференциала антикоммутируют, так что ''d <sup>I</sup> d <sup>II</sup>'' + ''d <sup>II</sup> d <sup>I</sup>'' = 0. Наша цель — сравнить итерированные гомологии <math>H^I_i(H^{II}_j(C_{\bullet,\bullet}))</math> и <math>H^{II}_j(H^I_i(C_{\bullet,\bullet}))</math>. Мы сделаем это, профильтровав наш двойной комплекс двумя способами. Вот наши фильтрации:
 
: <math>(C_{i,j}^I)_p = \begin{cases}
Строка 90:
C_{i,j} & \text{if } j \ge p \end{cases}</math>
 
Чтобы получить спетральнуюспектральную последовательность, мы сведём ситуацию к предыдущему примеру. Мы определяем тотпльныйтотальный комплекс ''T''(''C''<sub>•,•</sub>) как комплекс, ''n''-й член которого — это <math>\bigoplus_{i+j=n} C_{i,j}</math> и дифференциал которого — это ''d <sup>I</sup>'' + ''d <sup>II</sup>''. Это — комплекс, так как ''d <sup>I</sup>'' и ''d <sup>II</sup>'' — антикоммутирующие дифференциалы. Две фильтрации на ''C<sub>i, j</sub>'' индуцируют две фильтрации на тотальном комплексе:
 
: <math>T_n(C_{\bullet,\bullet})^I_p = \bigoplus_{i+j=n \atop i > p-1} C_{i,j}</math>
: <math>T_n(C_{\bullet,\bullet})^{II}_p = \bigoplus_{i+j=n \atop j > p-1} C_{i,j}</math>
 
Чтобы показать, что эти спетральныеспектральные последовательности дают информацию об итерированных гомологиях, мы опишем члены ''E''<sup>0</sup>, ''E''<sup>1</sup> и ''E''<sup>2</sup> фильтрации ''I'' на ''T''(''C''<sub>•,•</sub>). Член ''E''<sup>0</sup> устроен просто:
 
: <math>{}^IE^0_{p,q} =
Строка 122:
H^{II}_q(C_{p+1,\bullet})</math>
 
Поскольку ''E''<sup>1</sup> — это вточностив точности гомология относительно ''d <sup>II</sup>'', ''d <sup>II</sup>'' равно нулю на ''E''<sup>1</sup>. Следовательно, мы получаем
 
: <math>{}^IE^2_{p,q} = H^I_p(H^{II}_q(C_{\bullet,\bullet})).</math>
 
Используя другую фильтрацию, мы получаем спетральнуюспектральную последовательность со сходным членом ''E''<sup>2</sup>:
 
: <math>{}^{II}E^2_{p,q} = H^{II}_q(H^{I}_p(C_{\bullet,\bullet})).</math>
Строка 133:
 
== Сходимость и вырождение ==
В элементарном примере, с которого мы начинали, листы спетральнойспектральной последовательности были постоянны, начиная с ''r''=1. В этой ситуации имеет смысл взять предел последовательности листов: так как ничего не происходит после нулевого листа, предельный лист ''E''<sub>∞</sub> — тот же, что ''E''<sub>1</sub>.
 
В более общих ситуациях предельные листы часто существуют и всегда интересны. Они являются одним из наиболее важных аспектов спетктральныхспектральных последовательностей. Мы говорим, что спетральнаяспектральная последовательность <math>E_r^{p,q}</math> ''сходится к'' <math>E_\infty^{p,q}</math>, если существует ''r''(''p'', ''q''), такое, что для всех ''r'' ≥ ''r''(''p'', ''q'') дифференциалы <math>d_r^{p-r,q+r-1}</math> и <math>d_r^{p,q}</math> нулевые. Из этого следует, что <math>E_r^{p,q}</math> будет изоморфно <math>E_\infty^{p,q}</math> для больших ''r''. Это обозначается следующим образом:
 
: <math>E_r^{p,q} \Rightarrow_p E_\infty^{p,q}</math>
 
Здесь ''p'' обозначает фильтрационный индекс. Часто по левую сторону сходимости пишут член <math>E_2^{p,q}</math>, так как это наиболее полезный член многих спетральныхспектральных последовательностей.
 
В большинстве спеткральныхспектральных последовательностей, член <math>E_\infty</math> не является естественно дважды градуированным. Вместо этого, обычно существуют члены <math>E_\infty^n</math> с естественной фильтрацией <math>F^\bullet E_\infty^n</math>. В этих случаях, мы полагаем <math>E_\infty^{p,q} = \mbox{gr}_p E_\infty^{p+q} = F^pE_\infty^{p+q}/F^{p+1}E_\infty^{p+q}</math>. Мы определяем сходимость так же, как и раньше, но пишем
 
: <math>E_r^{p,q} \Rightarrow_p E_\infty^n</math>
 
что означает, что еогдакогда ''p'' + ''q'' = ''n'', <math>E_r^{p,q}</math> сходится к <math>E_\infty^{p,q}</math>.
 
Простейший случай, в котором мы можем установить сходиомость — это когда спектральная последовательность вырождается. Мы говорим, что спектральная последовательность ''вырождается в r-м лестелисте'', если для любого ''s'' ≥ ''r'' дифференциал ''d<sub>s</sub>'' нулевой. Из этого следует, что ''E<sub>r</sub>'' ≅ ''E''<sub>''r''+1</sub> ≅ ''E''<sub>''r''+2</sub> ≅ … В частности, из этого следует, что ''E<sub>r</sub>'' изоморфно ''E<sub>∞</sub>''. Это то, что происходило в первом тривиальном примере нефильтрованного цепного комплекса: спектральная последовательность вырождалась в первом листе. В общем случае, если дважды градуированная спектральная последовательность нулевая вне горизонтальной или вертикальной полосы, спектральная последовательность вырождается, так как более поздние дифференциалы всегда входят или исходят из объекта вне полосы.
 
СпетральнаяСпектральная последовательность также сходится, если <math>E_r^{p,q}</math> зануляется для всех ''p'', меньших некоторого ''p''<sub>0</sub> и для всех ''q'', меньших некоторого ''q''<sub>0</sub>. Если ''p''<sub>0</sub> и ''q''<sub>0</sub> могут быть выбраны равными нулю, это называют ''спектральной последовательностью первого квадранта''. Эта последовательность сходится, так как каждый объект находится на фиксированном расстоянии от границы ненулевого региона. Следовательно, для фиксированных ''p'' и ''q'', дифференциал на более поздних листах всегда отображает <math>E_r^{p,q}</math> в или из нулевого объекта. Сходным образом, спектральная последовательность также сходится, если <math>E_r^{p,q}</math> зануляется для всех ''p'', больших некоторого ''p''<sub>0</sub> и для всех ''q'', больших некоторого ''q''<sub>0</sub>.
 
== Литература ==
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Спектральная_последовательность