Векторный потенциал электромагнитного поля: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Raoul NK (обсуждение | вклад) →Калибровка векторного потенциала: уточнение |
Akrigel (обсуждение | вклад) м оформление Метка: редактор вики-текста 2017 |
||
Строка 1:
{{Электродинамика}}
'''Ве́кторный потенциа́л электромагни́тного по́ля''' (вектор-потенциал, магнитный потенциал) — в [[электродинамика|электродинамике]], [[векторный потенциал]], [[ротор (математика)|ротор]] которого равен [[Магнитная индукция|магнитной индукции]]:
: <math> \mathbf B = \operatorname{rot} \mathbf A = \nabla \times \mathbf A.</math>
Вектор-потенциал является пространственной компонентой [[4-вектор]]а [[Электромагнитный потенциал|электромагнитного потенциала]].
Строка 13:
: <math>\operatorname{rot}\mathbf E = - \frac{\partial \mathbf B}{\partial t}</math>
приводит к уравнению
: <math>\operatorname{rot} \left( \mathbf E + \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \right) = 0,</math>
согласно которому, так же как и в [[Электростатика|электростатике]] вводится скалярный потенциал. Однако теперь в <math>\mathbf E</math> вносят вклад и скалярный и векторный потенциал:
: <math>\mathbf E = - \operatorname{grad}\; \varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}.</math>
Из уравнения <math>\operatorname{rot} \mathbf H = \mathbf j + \frac{\partial \mathbf D}{\partial t}</math> следует
: <math>\operatorname{rot}\; \operatorname{rot} \mathbf A = \mu_0 \mathbf j + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(-\operatorname{grad}\;\varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \right).</math>
Используя равенство <math>\operatorname{rot}\; \operatorname{rot} \mathbf A = \operatorname{grad}\;\operatorname{div}\mathbf A - \nabla^2\mathbf A</math>, уравнения для векторного и скалярного потенциалов можно записать в виде
: <math>\Delta \mathbf A - \operatorname{grad} \left(\operatorname{div}\mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf j, </math>
: <math>\Delta \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{div} \mathbf A = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}.</math>
=== Вектор-потенциал и магнитный поток ===
В соответствии с [[Теорема Стокса|теоремой Стокса]], [[магнитный поток]] <math>\Phi</math> через контур <math>L</math> легко выразить через [[Циркуляция векторного поля|циркуляцию]] векторного потенциала <math>\mathbf{A}</math> по этому контуру:
: <math>\Phi = \oint\limits_L \mathbf{A} \cdot \mathbf{dl}.</math>
== Калибровка векторного потенциала ==
Строка 35:
Легко убедиться, что преобразования
: <math>\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla \psi,</math>
: <math>\varphi \rightarrow \varphi - \frac{\partial\psi}{\partial t},</math>
где <math>\psi</math> — произвольная [[скаляр]]ная функция координат и времени, не изменяют уравнений Максвелла ([[калибровочная инвариантность]], по [[теорема Нётер|теореме Нётер]] ей соответствует [[закон сохранения электрического заряда]]). Для удобства решения этих уравнений накладывают дополнительное искусственное условие, называемое [[Калибровка векторного потенциала|калибровкой потенциала]]. При решении различного класса задач удобнее бывает та или иная калибровка. Широкое распространение получили две — калибровка Кулона и калибровка Лоренца.
Строка 42:
=== Калибровка Кулона ===
Калибровкой Кулона называют выражение:
: <math>\operatorname{div}\mathbf A = 0.</math>
Эта калибровка удобна для рассмотрения [[магнитостатика|магнитостатических]] задач (с постоянными во времени токами).
Строка 52:
=== Калибровка Лоренца ===
Калибровкой Лоренца называют условие равенства нулю [[4-дивергенция|4-дивергенции]] потенциала (в СИ):
: <math>\nabla_{\mu} A_{\mu} = \operatorname{div}\mathbf A+\frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0.</math>
В этом случае уравнения переписываются в виде [[даламбертиан]]ов:
: <math>\square \mathbf A \equiv \Delta \mathbf A - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf j,</math>
: <math>\square \varphi \equiv \Delta \varphi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}.</math>
Уравнения, записанные в таком виде, удобнее использовать для решения нестационарных задач.
Строка 79:
{{Вывод|
При изменении векторного потенциала возникает электрическое поле:
: <math>\mathbf E = - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}.</math>
Запишем второй закон Ньютона в обобщённой форме:
: <math>\frac{d \mathbf p}{d t} = \mathbf F,</math>
: <math>\frac{d \mathbf p}{d t} = q \mathbf E + q [\mathbf v \times \mathbf B] = - q \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} + q [\mathbf v \times [\nabla \times \mathbf A]].</math>
Если поле отключается достаточно быстро и скорость частицы невелика, то
: <math>\frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \gg [\mathbf v \times [\nabla \times \mathbf A]],</math>
а частная производная по времени практически совпадёт с полной:
: <math>\frac{d \mathbf A}{d t} = \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} + (\mathbf v \cdot \nabla) \mathbf A \approx \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}.</math>
Итого имеем:
: <math>\frac{d \mathbf p}{d t} = - q \frac{d \mathbf A}{d t}.</math>
Интегрируем по времени:
: <math>\mathbf{p}' - \mathbf{p} = - q (\mathbf{A}' - \mathbf{A}).</math>
И так как <math>\mathbf{A}' = 0</math>, получаем <math>\Delta \mathbf{p} = q\mathbf{A}.</math>
}}
Строка 115:
== Литература ==
* {{Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля}}
* ''Савельев И. В.
== Ссылки ==
[[Категория:Потенциал]]
[[Категория:Электродинамика]]
| |||