Уравнение Дирака: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Akrigel (обсуждение | вклад) м →Релятивистски ковариантная форма: оформление Метка: редактор вики-текста 2017 |
Akrigel (обсуждение | вклад) м оформление Метка: редактор вики-текста 2017 |
||
Строка 5:
Уравнение Дирака записывается в виде
: <math> \left(mc^2\alpha_0 + c \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j\right) \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t), </math>
где <math>m\ </math> — [[масса]] [[электрон]]а (или другого [[фермион]]а, описываемого уравнением), <math>c\ </math> — [[скорость света]], <math>p_j = - i \hbar \partial_j</math> — три оператора компонент импульса (по ''x, y, z''), <math> \hbar = {h \over 2 \pi} </math>, <math> h </math> — [[постоянная Планка]], '''x'''=(''x, y, z'') и ''t'' пространственные координаты и время соответственно, и <math>\psi(\mathbf{x},t)</math> — четырёхкомпонентная комплексная волновая функция (биспинор).
<math>\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\ </math> — [[линейный оператор|линейные операторы]] над пространством [[биспинор]]ов, которые действуют на волновую функцию ([[матрицы Паули]]). Эти операторы подобраны так, что каждая пара таких операторов антикоммутирует, а квадрат каждого равен единице:
: <math>\alpha_i\alpha_j = -\alpha_j\alpha_i\, </math>
: <math>\alpha_i^2 = 1</math> для <math>i\ </math> от 0 до 3.
Строка 18:
* В современной физике часто используется [[#Релятивистски ковариантная форма|ковариантная форма записи]]<ref>Поскольку и форма с альфа-матрицами лоренц-ковариантна, правильнее называть форму с гамма-матрицами просто четырёхмерной (а при замене обычных производных на ковариантные она даст общековариантную запись уравнения Дирака).</ref> уравнения Дирака (подробно см. ниже):
: <math>\left(i\hbar c \, \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.</math>
== Физический смысл ==
=== Электрон, позитрон ===
Из уравнения Дирака следует, что электрон обладает собственным механическим моментом количества движения — [[спин]]ом, равным ħ/2, а также собственным [[магнитный момент|магнитным моментом]], равным (без учёта гиромагнитного отношения) [[Магнетон Бора|магнетону Бора]] eħ/2mc, которые ранее (1925) были открыты экспериментально (e и m — заряд и масса электрона, с — скорость света, ħ — постоянная Дирака (редуцированная постоянная Планка)). С помощью уравнения Дирака была получена более точная формула для уровней энергии атома водорода (и водородоподобных атомов), включающая тонкую структуру уровней (см. [[Атом]]), а также объяснён [[эффект Зеемана]]. На основе уравнения Дирака были найдены формулы для вероятностей рассеяния [[фотон]]ов свободными электронами ([[эффект Комптона|комптон-эффекта]]) и излучения электрона при его торможении ([[Тормозное излучение|тормозного излучения]]), получившие экспериментальное подтверждение. Однако последовательное релятивистское описание движения электрона даётся [[квантовая электродинамика|квантовой электродинамикой]].
Строка 52 ⟶ 51 :
Для удобства мы будем работать в координатном представлении, в котором состояние системы задаётся [[волновая функция|волновой функцией]] ''ψ''('''x''',''t''). В этом представлении уравнение Шрёдингера запишется в виде
: <math> H \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi(\mathbf{x},t)}{\partial t}
где [[гамильтониан (квантовая механика)|гамильтониан]] ''H'' теперь действует на волновую функцию.
Строка 82 ⟶ 81 :
Однако мы пока не определили коэффициенты <math>\alpha_i\ </math>. Если верно предположение Дирака, то правая часть, возведенная в квадрат, должна дать
: <math> (mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2, </math>
то есть
Строка 95 ⟶ 94 :
</math>
: <math>
\alpha_i^2 = 1\,,</math> для всех <math> i = 0, 1, 2, 3.\ ,
</math>
или, сокращенно, записав всё вместе:
: <math> \alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 2 \delta_{ij}\ </math> для <math>\ i,j = 0, 1, 2, 3, </math>
Строка 118 ⟶ 117 :
Во введении мы привели представление, использованное Дираком. Это представление можно правильно записать как
: <math>\alpha_0 = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{bmatrix}, \quad \alpha_j = \begin{bmatrix} 0 & \sigma_j \\ \sigma_j & 0 \end{bmatrix}, </math>
где ''0'' и ''I'' — 2×2 нулевая и единичная матрицы соответственно, и σ<sub>''j''</sub> (''j'' = 1, 2, 3) — [[матрицы Паули]], являющиеся, кстати, матричным представлением [[кватернионы|кватернионов]], о которых давно известно, что они антикоммутируют.
Строка 207 ⟶ 206 :
=== Для частиц ===
Решение уравнения Дирака для свободных частиц запишется в виде
:: <math>\psi = u(\mathbf{p}) e^{i p \cdot x},</math>
:: <math>\mathbf{p}</math> — обычный трёхмерный вектор, а
:: ''p'' и ''x'' — [[4-вектор]]ы.
Строка 217 ⟶ 216 :
\chi^{(s)}\\
\frac{\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{p} }{E+m} \chi^{(s)}
\end{bmatrix}.</math>
=== Для античастиц ===
Строка 226 ⟶ 225 :
\frac{- \mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{p} }{|E|+m} \chi^{*(s)} \\
\chi^{*(s)}
\end{bmatrix}.</math>
=== Биспиноры ===
Полные соотношения для биспиноров ''u'' и ''v'':
:: <math>\sum_{s=1,2}{u^{(s)}_p \bar{u}^{(s)}_p} = p\!\!\!/ + m,</math>
:: <math>\sum_{s=1,2}{v^{(s)}_p \bar{v}^{(s)}_p} = p\!\!\!/ - m,</math>
:: <math>p\!\!\!/ = \gamma^\mu p_\mu</math> (определение <math>\gamma^\mu</math> — см. чуть ниже).
Строка 238 ⟶ 237 :
Полезно найти [[Собственные векторы, значения и пространства|собственные значения]] энергии гамильтониана Дирака. Для того чтобы это сделать, мы должны решить стационарное уравнение<!--мне кажется, тут для меньшей терминологической путаницы не упоминать об уравнении Шрёдингера (Сергей Сашов)-->:
: <math>H \psi_0 (\mathbf{x}) = E \psi_0(\mathbf{x}), </math>
где ''ψ<sub>0</sub>'' — независимая от времени часть полной волновой функции
Строка 248 ⟶ 247 :
Будем искать решение в виде плоских волн. Для удобства выберем в качестве оси движения ось ''z''. Таким образом
: <math> \psi_0 = w e^{\frac{ipz}{\hbar}}, </math>
где ''w'' — постоянный четырёхкомпонентный спинор и ''p'' — импульс частицы, как можно показать действуя оператором импульса на эту волновую функцию. В представлении Дирака уравнение для ''ψ<sub>0</sub>'' сводится к задаче на собственные значения:
Строка 264 ⟶ 263 :
и для отрицательных:
: <math>\left\{ \begin{bmatrix}-\epsilon \\ 0 \\ pc \\ 0 \end{bmatrix} \,,\, \begin{bmatrix}0 \\ \epsilon \\ 0 \\ pc \end{bmatrix} \right\} \times \frac{1}{\sqrt{\epsilon^2+(pc)^2}},</math>
где
Строка 322 ⟶ 321 :
Эти матрицы обладают тем свойством, что
: <math>\left\{\gamma^\mu , \gamma^\nu \right\} = 2\eta^{\mu\nu} \cdot I\,,\quad \mu,\nu = 0, 1, 2, 3,</math>
где ''η'' метрика плоского пространства. Эти соотношения определяют алгебру Клиффорда называемую '''алгеброй Дирака'''.
Строка 332 ⟶ 331 :
В этой форме уравнение Дирака можно получить с помощью нахождения экстремума [[Действие (физическая величина)|действия]]
: <math>\mathcal{S} = \int \bar\psi(i \hbar c \, \sum_\mu \gamma^\mu \partial_\mu - mc^2)\psi \, d^4 x, </math>
где
Строка 374 ⟶ 373 :
До сих пор мы рассматривали электрон, на который не действуют никакие внешние поля. По аналогии с [[Гамильтониан (квантовая механика)|гамильтонианом]] заряженной частицы в [[электродинамика|классической электродинамике]], мы можем изменить гамильтониан Дирака так, чтобы включить эффект [[Электромагнитное поле|электромагнитного поля]]. Переписанный гамильтониан — (в единицах [[СИ]]):
: <math>H = \alpha_0 mc^2 + \sum_{j=1}^3 \alpha_j \left[p_j - e A_j(\mathbf{x}, t) \right] c + e \varphi(\mathbf{x}, t), </math>
где ''e'' — [[электрический заряд]] электрона (здесь принято соглашение, что знак e отрицателен), а '''A''' и ''φ'' — электромагнитные векторный и скалярный потенциалы, соответственно.
Строка 380 ⟶ 379 :
Полагая ''φ = 0'' и работая в нерелятивистском пределе, Дирак, нашёл для двух верхних компонент в положительной области энергий волновые функции (которые, как обсуждено ранее, являются доминирующими компонентами в нерелятивистском пределе):
: <math> \left( \frac{1}{2m} \sum_j |p_j - e A_j(\mathbf{x}, t)|^2 - \frac{\hbar e}{2mc} \sum_j \sigma_j B_j(\mathbf{x}) \right) \begin{bmatrix}\psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}</math><br /> <math>= (E - mc^2) \begin{bmatrix}\psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix},</math>
где '''B''' = <math>\nabla</math>×''' A''' — [[магнитное поле]] действующее на частицу. Это [[уравнение Паули]] для нерелятивистских частиц с полуцелым спином, с [[магнитный момент|магнитным моментом]] <math>\hbar e/2mc</math> (то есть, [[g-фактор]] равняется 2). Фактический магнитный момент электрона больше чем это значение, хотя только примерно на 0,12 %. Несоответствие происходит из-за квантовых колебаний в электромагнитного поля, которыми пренебрегли. См. [[вершинная функция]].
Строка 389 ⟶ 388 :
Заслуживает внимания факт, что гамильтониан может быть записан как сумма двух слагаемых:
: <math>H = H_{\mathrm{free}} + H_{\mathrm{int}},</math>
где ''H''<sub>free</sub> — гамильтониан Дирака для свободного электрона и ''H''<sub>int</sub> — гамильтониан взаимодействия электрона с электромагнитным полем. Последний запишется в виде
Строка 397 ⟶ 396 :
Он имеет [[математическое ожидание]] (среднее)
: <math>\langle H_{\mathrm{int}} \rangle = \int \, \psi^\dagger H_{\mathrm{int}} \psi \, d^3x = \int \, \left(\rho \varphi - \sum_{i=1}^3 j_i A_i \right) \, d^3x, </math>
где ''ρ'' — плотность электрического заряда и '''j''' — плотность электрического тока, определённые через ''ψ''. Подынтегральная функция в последнем интеграле — плотность энергии взаимодействия — лоренц-инвариантная скалярная величина, что легко увидеть, записав в терминах четырёхмерной плотности тока ''j'' = (''ρc'', '''j''') и четырёхмерного электромагнитного потенциала ''A'' = (''φ/c'', '''A''') — каждый из которых является [[4-вектор]]ом, а следовательно их скалярное произведение инвариантно. И энергия взаимодействия записывается как интеграл по пространству от этого инварианта:
: <math>\langle H_{\mathrm{int}} \rangle = \int \, \left( \sum_{\mu,\nu = 0}^3 \eta^{\mu\nu} j_\mu A_\nu \right) \; d^3x,</math>
где ''η'' — метрика плоского пространства Минковского (лоренцева метрика пространства-времени):
Строка 414 ⟶ 413 :
Классическая плотность [[лагранжиан]]а фермиона с полуцелым спином с массой m задаётся
: <math>\mathcal{L} = \overline{\psi} \left(i \gamma^\mu \partial_\mu - m \right) \psi,</math>
где <math>\overline{\psi} = \psi^\dagger \gamma^0.</math>
Строка 421 ⟶ 420 :
Оценив два члена:
:: <math>\frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu \psi_\sigma ) } = \overline{\psi}_{\sigma^\prime} \left( i \gamma^\mu \right)_{\sigma^\prime \sigma},</math>
:: <math>\frac{\partial L}{\partial \psi_\sigma} = -m \overline{\psi}_{\sigma},</math>
И собрав оба результата, получим уравнение
:: <math>i \partial_\mu \overline{\psi} \gamma^\mu + m \overline{\psi} = 0,</math>
которое идентично '''уравнению Дирака''':
:: <math>i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \psi = 0.</math>
| |||