Википедия

Ряд Гранди: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[непроверенная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Строка 22:
Если считать ряд Гранди расходящейся геометрической прогрессией, то, используя те же методы что и при работе со сходящимися геометрическими прогрессиями, можно получить третье значение, 1/2:
 
Обозначим <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n</math> =как 1 - 1 + 1 - 1 + ...<math>S_1</math>
 
<math>1 - \sum_{n=0}^\infty (-1)^n = 1 - (1 - 1 + 1 - ...)S_1 = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n</math>
 
<math>1 - \sum_{nS_1 =0}^\infty 1 - (1 - 1 + 1 - ...)^n = \sum_{n=0}^\infty1 (- 1)^n + 1 - 1 + ... = S_1</math>
 
<math>\sum_{n=0}^\infty1 (-1)^n S_1 = \frac{1}{2}S_1</math>.
 
<math>S_1 = \frac{1}{2}</math>.
 
В предыдущих рассуждениях не учитывается, что в действительности означает «сумма ряда». Поскольку важно уметь брать части ряда в скобки, а также производить арифметические действия с рядами, можно прийти к двум выводам:
* Ряд 1 − 1 + 1 − 1 + … не имеет суммы.<ref name=Devlin77>Devlin, p. 77.</ref><ref name=Davis152>Davis, p. 152.</ref>
* …но… но его сумма ''должна'' быть равна 1/2.<ref name=Davis152 />
 
На самом деле, оба утверждения могут быть точно сформулированны и формально доказаны, но только с использованием четко определенных математических принципов, которые возникли лишь в XIX веке. После того, как в конце XVII века в Европе были заложены основы анализа, и до прихода современной строгости, разница между ответами давала пищу для «бесконечных» и «яростных» споров между [[Математик|математиками]].<ref name=Kline307>Kline 1983, p. 307.</ref><ref name=Knopp457>Knopp, p. 457.</ref>
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Гранди