Статистика Бозе — Эйнштейна: различия между версиями

м
оформление
м (оформление)
Метка: редактор вики-текста 2017
:{{Статистическая физика}}
В [[Статистическая механика|статистической механике]] '''статистика Бо́зе — Эйнште́йна''' определяет распределение [[тождественные частицы|тождественных частиц]] с нулевым или целочисленным [[спин]]ом (таковыми являются, например, [[фотон]]ы и атомы [[Гелий-4|гелия-4]]) по [[энергетический уровень|энергетическим уровням]] в состоянии [[Термодинамическое равновесие|термодинамического равновесия]]. Предложена в 1924 году [[Бозе, Шатьендранат|Шатьендранатом Бозе]] для описания фотонов. В 1924—1925 годах [[Эйнштейн, Альберт|Альберт Эйнштейн]] обобщил её на системы атомов с целым спином.
 
== Вывод и описание ==
 
Гамильтониан системы невзаимодействующих частиц равен сумме гамильтонианов отдельных частиц. Собственные функции гамильтониана системы представляются как произведение собственных функций гамильтонианов отдельных частиц. А собственные значения (энергия) гамильтониана системы равна сумме энергий (собственных значений гамильтонианов) отдельных частиц. Если на данном энергетическом уровне <math>\varepsilon_i</math> находится <math>n_i</math> частиц, то энергия системы есть взвешенная сумма <math>E=\sum^{\infty}_{i=0}n_i \varepsilon_i</math>, а волновая функция системы есть произведение
<math>E=\sum^{\infty}_{i=0}n_i \varepsilon_i</math>, а волновая функция системы есть произведение
 
: <math>\psi(r)=\psi(r_1,r_2,...,r_n)=\psi_{i_1}(r_1)\psi_{i_2}(r_2)...\psi_{i_n}(r_n),</math>
 
где <math>\psi_{i_k}</math> — волновая функция для энергетического уровня <math>\varepsilon_{i_k}</math>.
Общая формула вероятности состояния системы с данным энергетическим уровнем определяется следующим образом ([[большой канонический ансамбль]]):
 
: <math>W(E)=e^{\frac {\Omega+\mu n-E}{\Theta}}g(E),</math>
 
где <math>g(E)</math> — кратность вырождения данного уровня энергии.
Однако, необходимо учесть, что, как известно, произвольная линейная комбинация волновых функций тоже является решением уравнения Шредингера. В силу тождественности частиц, то есть их микроскопической неразличимости, необходимо выбрать такую линейную комбинацию, чтобы перестановка координат не меняла волновую функцию, то есть
 
: <math>\psi=\sum_P P\psi,</math>
 
где <math>P</math> — операция перестановки координат частиц. Кроме того, по теореме Паули для бозонов волновые функции симметричны, то есть умножение на минус единицу координат также не меняет волновую функцию. Такие волновые функции описывают невырожденные состояния, поэтому <math>g(E)=1</math>. Кроме того, отпадает вышеуказанная необходимость деления на <math>n!</math>, поскольку для выбранной волновой функции перестановки не приводят к новым микросостояниям. Таким образом, окончательно можно выразить вероятность данного состояния следующим образом через числа заполнения <math>n_l</math>:
 
: <math>W(n_0, n_1,...)=e^{\frac {\Omega+\sum^{\infty}_{l=0} n_i(\mu-\varepsilon_i)}{\Theta}}.</math>
 
Отсюда можно показать, что
 
: <math>\Omega=\Theta \sum^{\infty}_{i=0}\ln(1-e^{(\mu-\varepsilon_i)/\Theta}).</math>
 
Среднее число частиц в заданном состоянии можно выразить через эту величину как частную производную (с противоположным знаком) по <math>\mu_i</math> условно полагая, что <math>\mu</math> различаются для каждого <math>i</math>. Тогда для среднего числа частиц в заданном состоянии согласно статистике Бозе — Эйнштейна, получаем
 
: <math> \overline {n}_i = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/kT}-1}, </math>
 
где <math>\varepsilon_i > \mu</math>, ''n<submath>in_i</submath>''&nbsp; — количество частиц в состоянии ''<math>i''</math>, ''ε<submath>i\varepsilon_i</submath>''&nbsp; — энергия состояния ''<math>i''</math>, μ<math>\mu</math> — химпотенциалхимический потенциал системы, ''<math>k''</math> — постоянная Больцмана, ''<math>T''</math> — абсолютное значение температуры.
 
В пределе <math> kT \ll \varepsilon_i-\mu </math> статистика Бозе-Эйнштейна переходит в статистику Максвелла — Больцмана, а в пределе <math> kT \gg \varepsilon_i-\mu </math> — в [[распределение Рэлея]]:
 
: <math> \overline {n}_i = \frac{g_i kT}{\varepsilon_i-\mu}. </math>.
 
== Литература ==