Нормирование (алгебра): различия между версиями

320 байт добавлено ,  2 года назад
→‎Примеры нормирований: Теорема Островского
(эквивалентные нормы,)
(→‎Примеры нормирований: Теорема Островского)
* Нормирование, при котором <math>||0||=0</math>, <math>||x||=1</math> для остальных <math>x</math>. Такое нормирование называется тривиальным.
* Обычная [[абсолютная величина]] в поле [[Вещественное число|вещественных чисел]] <math>\mathbb{R}</math> и модуль в поле [[Комплексное число|комплексных чисел]] <math>\mathbb{C}</math> являются нормированием.
* Пусть <math>\mathbb{Q}</math> — поле рациональных чисел, а <math>p</math> — некоторое [[простое число]]. Любое рациональное число можно представить в виде дроби <math>x=p^n\frac{a}{b}</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> не кратны <math>p</math>. Можно определить следующее нормирование <math>|x|_p=p^{-n}</math>. Это нормирование является неархимедовым и называется ''p-адическим нормированием''.
Согласно {{iw|теореме Островского||en|Ostrowski's theorem}}, любая нетривиальная норма на <math>\mathbb{Q}</math> эквивалентна либо абсолютной величине <math>|x|</math>, либо р-адическому нормированию.
 
== Свойства нормы ==