Мультипликативная функция: различия между версиями

[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
оформление, дополнение
оформление
Строка 7:
 
Следует отметить, что вне теории чисел под '''мультипликативной функцией''' понимают любую функцию <math>f</math>, определенную на некотором множестве <math>X</math>, такую что
:: <math>f(x_1 x_2) = f(x_1) f(x_2)</math> {{nbsp|2}}''для любых'' <math>x_1, x_2 \in X</math>.
 
В теории чисел такие функции, то есть функции <math>f(m)</math>, для которых условие мультипликативности выполнено для ''всех'' натуральных <math>m_1, m_2</math>, называются '''вполне мультипликативными'''.
 
Мультипликативная функция называется '''сильно мультипликативной''', если
:: <math>f(p^\alpha) = f(p)</math>
для всех простых <math>p</math> и всех натуральных <math>\alpha</math>.
 
Строка 24:
* Функция <math>\frac{\varphi(m)}{m}</math> является сильно мультипликативной.
* Степенная функция <math>f(m)=m^\alpha</math> является вполне мультипликативной.
 
== Свойства ==
Любая мультипликативная функция <math>f(m)</math>, не равная тождественно нулю, удовлетворяет равенству:
: <math>f(1) = 1</math>
 
== Построение ==
Из [[Основная теорема арифметики|основной теоремы арифметики]] следует, что можно произвольно задать значения мультипликативной функции <math>f(n)</math> на [[Простое число|простых числах]] и их степенях, а также определить <math>f(1) = 1,;</math>) все прочие значения полученной функции определяются из свойства мультипликативности.
 
Произведение любых мультипликативных функций также является мультипликативной функцией.
Строка 54 ⟶ 50 :
|издательство=Издательский центр «Академия» |год=2008 |страниц=272 |ref=Нестеренко Ю. В.
|isbn=978-5-7695-4646-4 }}
 
== См. также ==
* [[Арифметическая функция]]
 
[[Категория:Арифметические функции]]