Открытые проблемы в теории чисел: различия между версиями

* Ослабленная [[гипотеза Мертенса]]: доказать, что [[функция Мертенса]] <math>M(n)</math> оценивается как <math>M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon})</math>. Ослабленная гипотеза Мертенса эквивалентна гипотезе Римана.
* [[Первая гипотеза Харди — Литлвуда]] — гипотеза о плотности распределения кортежей простых чисел вида <math>(p,p+a_2...,p+a_k)</math>, утверждающая, в частности, что число таких кортежей бесконечно, исключая тривиальные случаи. Эта гипотеза является уточнением гипотезы о простых близнецах, а также является частным случаем гипотезы Диксона.
* [[Вторая гипотеза Харди — Литлвуда]] — гипотеза о логарифмическом свойстве [[Функция распределения простых чисел|функции числа простых чисел]]: <math>\pi(x+y)\leqslant\pi(x)+\pi(y)</math>. Доказано, что гипотезы Харди-Литлвуда обе сразу не могут быть верными и верна максимум одна<ref>{{cite web|title=447-tuple calculations|url=http://www.opertech.com/primes/residues.html|accessdate=2008-08-12|archiveurl=https://www.webcitation.org/6DFVOfgxk?url=http://www.opertech.com/primes/residues.html|archivedate=2012-12-28}}</ref>.
* [[Гипотеза Сингмастера]]. Обозначим через <math>N(a)</math> количество раз, которое натуральное число <math>a</math>, большее единицы, встречается в [[Треугольник Паскаля|треугольнике Паскаля]]. [[Сингмастер, Дэвид|Сингмастер]] показал, что <math>N(a)=O(\ln a)</math>, что в дальнейшем было улучшено до <math>N(a) = O(\ln a \cdot \ln \ln \ln a \cdot {\ln}^{-3} \ln a)</math>. Верно ли более сильное утверждение <math>N(a)=O(1)</math>?
* {{Не переведено|:en:Zaremba's conjecture|Гипотеза Зарембы}}. Для любого натурального числа ''q'' найдётся такое число ''p'', что в разложении <math>\frac pq</math> в [[цепная дробь|цепную дробь]] все неполные частные не превосходят пяти. В [[2011 год]]у [[Жан Бурган|Жаном Бургейном]] и Алексом Конторовичем было доказано, что для дробей с неполными частными, ограниченными 50, гипотеза верна на множестве плотностью 1<ref>J. Bourgain, A. Kontorovich. [http://arxiv.org/abs/1103.0422 On Zaremba’s Conjecture].</ref>.